Equations différentielles couplées

[invite25865261]

Bonjour.

Je suis actuellement en stage et je travaille sur un modèle de tricoupleur optique. Je me heurte dans mes calculs à un système plutôt coriace de 3 équations différentielles du premier orde couplées, non linéaires :

da1/dz = -i*(C21*exp(i*dBeta12*z)*a2 + C31*exp(i*dBeta13*z)*a3)
da2/dz = -i*(C12*exp(-i*dBeta12*z)*a1 + C32*exp(i*dBeta23*z)*a3)
da3/dz = -i*(C13*exp(-i*dBeta13*z)*a1 + C23*exp(-i*dBeta23*z)*a2)

les Cij et les dBetaij sont des constantes

En fouillant sur le forum, j'ai cru comprendre que pour résoudre un tel système, il fallait redériver pour obtenir des équations d'ordre supérieur mais contenant seulement une inconnue, puis partir d'une solution évidente (qui n'a pas l'air de l'être) pour remonter à a1 a2 et a3(z).
Je sèche complètement. Je l'ai codé et j'ai la solution numérique (sous matlab) mais j'aurais aimé avoir une expression analytique. D'où ma question : un système comme celui ci est il résolvable (soluble ?) analytiquement, et si oui par où commencer.

Merci d'avance.
-----

[Armen92]

Bonjour.

Je suis actuellement en stage et je travaille sur un modèle de tricoupleur optique. Je me heurte dans mes calculs à un système plutôt coriace de 3 équations différentielles du premier orde couplées, non linéaires :

da1/dz = -i*(C21*exp(i*dBeta12*z)*a2 + C31*exp(i*dBeta13*z)*a3)
da2/dz = -i*(C12*exp(-i*dBeta12*z)*a1 + C32*exp(i*dBeta23*z)*a3)
da3/dz = -i*(C13*exp(-i*dBeta13*z)*a1 + C23*exp(-i*dBeta23*z)*a2)

les Cij et les dBetaij sont des constantes

En fouillant sur le forum, j'ai cru comprendre que pour résoudre un tel système, il fallait redériver pour obtenir des équations d'ordre supérieur mais contenant seulement une inconnue, puis partir d'une solution évidente (qui n'a pas l'air de l'être) pour remonter à a1 a2 et a3(z).
Je sèche complètement. Je l'ai codé et j'ai la solution numérique (sous matlab) mais j'aurais aimé avoir une expression analytique. D'où ma question : un système comme celui ci est il résolvable (soluble ?) analytiquement, et si oui par où commencer.

Merci d'avance.

Bonjour,
Si je comprends bien vos écritures (avec LaTeX ce serait plus lisible !!!), les non-linéarités sont dans les exponentielles au second membre.
Il s'agit donc d'un système non-linéaire à 6 degrés de liberté (vous ne dites rien sur les inconnues : sont-ce des fonctions à valeurs réelles ou complexes ?)
Face à un tel système assez effroyable, la première étape est toujours d'analyser les points fixes, et leur stabilité linéaire.
Ensuite, et si les coefficients du système le permettent, de voir s'il existe des intégrales premières pour réduire la dimension de l'espace.

En toute hypothèse, je suggère la lecture d'un bon bouquin sur les systèmes dynamiques (celui de Drazin est élémentaire mais remarquable).

Et, pour ce genre de problème, attention aux canulars numériques : le codage doit être fait avec le plus grand soin pour que la machine ne sorte pas d'âneries grosses comme elle ! Des exemples simples démontrent que la représentation (forcément approchée) des nombres en machine, et surtout la substitution continu/discret ouvre la porte à toutes les extravagances (voir l'exemple de la simplissime (?!) application logistique)...

[God's Breath]

avec LaTeX ce serait plus lisible !!!

Le système serait-il :



c'est-à-dire, matriciellement :



où , les et les sont des constantes ?

[Armen92]

Le système serait-il :



c'est-à-dire, matriciellement :



où , les et les sont des constantes ?

Alors, si tel est le cas, le système est linéaire. Compte tenu de la forme harmonique des éléments de matr!ce, et de la valeurs des autres constantes, j'essaierais bien un passage astucieux dans un repère tournant pour être ramené à un système autonome.
C'est comme pour un système à trois niveaux en Mécanique quantique, où le théorème de Cayley-Hamilton peut rendre d'immenses services, une fois défini un moment cinétique effectif .
Cela fait, si c'est possible, plus de problème, sauf celui de diagonaliser une matrice .

[A voir en vidéo sur Futura]