Polynôme annulateur d'une matrice carrée
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Polynôme annulateur d'une matrice carrée



  1. #1
    invite1fce1628

    Polynôme annulateur d'une matrice carrée


    ------

    Salut, je suis en train de chercher un petit exercice, et je voudrais savoir si ma solution vous semble correcte...

    Voici l'énoncé : Pour A matrice carrée d'ordre n et inversible, montrer qu'il existe un polynôme de degré n-1 tel que P(A)=A-1

    Voici ce que je dirais :

    Il existe un polynôme annulateur de A de la forme P=anXn+...+a1X+a0

    Donc on a anAn+...+a1A+a0In=0
    => anAn-1+...+a1In+a0A-1=0 (en multipliant l'équation précédente par A-1 qui existe bien)

    Donc le polynôme Q=-1/a0(anXn-1+a1In) est bien de degré n-1 et Q(A)=A-1. Donc un polynôme tel que défini dans l'énoncé existe.

    C'est aussi bête que ça ?

    -----

  2. #2
    invite899aa2b3

    Re : Polynôme annulateur d'une matrice carrée

    Oui, en fait ce qui n'est pas bête est l'existence d'un polynôme annulateur de degré (ce n'est pas un résultat difficile, mais c'est le pilier de la preuve).

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