Polynôme annulateur d'une matrice carrée

[invite1fce1628]

Salut, je suis en train de chercher un petit exercice, et je voudrais savoir si ma solution vous semble correcte...

Voici l'énoncé : Pour A matrice carrée d'ordre n et inversible, montrer qu'il existe un polynôme de degré n-1 tel que P(A)=A^-1

Voici ce que je dirais :

Il existe un polynôme annulateur de A de la forme P=a_nXⁿ+...+a₁X+a₀

Donc on a a_nAⁿ+...+a₁A+a₀I_n=0
=> a_nA^n-1+...+a₁I_n+a₀A^-1=0 (en multipliant l'équation précédente par A^-1 qui existe bien)

Donc le polynôme Q=-1/a₀(a_nX^n-1+a₁I_n) est bien de degré n-1 et Q(A)=A^-1. Donc un polynôme tel que défini dans l'énoncé existe.

C'est aussi bête que ça ?
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[invite899aa2b3]

Oui, en fait ce qui n'est pas bête est l'existence d'un polynôme annulateur de degré (ce n'est pas un résultat difficile, mais c'est le pilier de la preuve).