différentiel

[invitefe5c9de5]

Bonjour à tous,

Je revois en profondeur la notion de différentiel que j'avais légerment laissé passer en 1ere année car cette dernière est vraiment tres utile en chimie et physique.
On a le théorème qui permet de définir la dérivée d'une fonction de classe C^1, sur un ouvert, a deux variables selon un vecteur donné: sans donner la formule général, je la résumerais ainsi:

df=(d°f/d°x)dx+(d°f/d°y)dy

Mais je ne comprends pas comment avec deux directions, on peut connaitre la dérivée selon un vecteur.

Je peux me représenter des fonctions continues où la dérivée selon (0,1) et (1,0) soient négatives tout en ayant une dérivée positive selon (1,1).
Si on imagine:

f(x,y)=0 pour x<0, y>0 ;pour y<0, x>0 ;pour y<0 et x<0 avec des supérieurs ou égales (je ne sais pas les noter mais comme ca que je le concois)
f(x,y) quelconque mais non nul sur x>0 et y>0.

Selon les vecteurs (0,1) et (1,0), j'ai des dérivées nulles alors que ma dérivée selon (1,1) n'a aucune raison d'etre nulle.

Ais-je oublier une des hypotheses dans mon exmple?
Enfin voila, je ne comprends pas, merci de m'aider et désolé si je m'exprime de facon peu clair.
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[Seirios]

Bonsoir,

Selon les vecteurs (0,1) et (1,0), j'ai des dérivées nulles alors que ma dérivée selon (1,1) n'a aucune raison d'etre nulle.

La dérivée selon (1,1) sera bien nulle au point considéré à cause de la régularité de f : de manière informelle, la continuité des dérivées partielles impliquent que quelque soit la droite utilisée pour approcher l'origine, la dérivée sera nulle lorsque l'on sera suffisament proche de l'origine.
Cela dit, il suffit que f soit différentiable au point considéré : comme , on a la dérivée selon le vecteur v=(h,k) au point X qui vaut .

[Seirios]

Une autre manière de le voir : si f est de classe , l'application est continue donc arbitrairement proche de l'origine la différentielle est arbitrairement petite ; d'après l'égalité ci-dessus entre la différentielle et la dérivée selon un vecteur, cela montre bien que la dérivée sera nulle selon toutes les directions.

[Amanuensis]

Je peux me représenter des fonctions continues où la dérivée selon (0,1) et (1,0) soient négatives tout en ayant une dérivée positive selon (1,1).
Si on imagine:

f(x,y)=0 pour x<0, y>0 ;pour y<0, x>0 ;pour y<0 et x<0 avec des supérieurs ou égales (je ne sais pas les noter mais comme ca que je le concois)
f(x,y) quelconque mais non nul sur x>0 et y>0.

Selon les vecteurs (0,1) et (1,0), j'ai des dérivées nulles alors que ma dérivée selon (1,1) n'a aucune raison d'etre nulle.

Ais-je oublier une des hypotheses dans mon exmple?

Elle n'est pas différentiable en (0,0).

Il ne suffit pas que toutes les fonctions t --> f(tx, ty) soient dérivables en 0 pour que la fonction f soit différentiable.

Je cite le Wiki :

une fonction de deux variables, à valeurs réelles : on notera z=f(x,y). Cette fonction sera dite '''différentiable''' au point de coordonnées (x,y) s'il existe une formule de développement limité d'ordre 1 pour la fonction en ce point, c'est-à-dire



avec et des coefficients réels.

Qu'on puisse exprimer les dérivées de t --> f(tx, ty) comme une fonction bilinéaire de (x,y) est une condition nécessaire, et elle n'est pas vérifiée pour l'exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec17b0872]

Bonjour à tous,

Je revois en profondeur la notion de différentiel que j'avais légerment laissé passer en 1ere année car cette dernière est vraiment tres utile en chimie et physique.
On a le théorème qui permet de définir la dérivée d'une fonction de classe C^1, sur un ouvert, a deux variables selon un vecteur donné: sans donner la formule général, je la résumerais ainsi:

df=(d°f/d°x)dx+(d°f/d°y)dy

Mais je ne comprends pas comment avec deux directions, on peut connaitre la dérivée selon un vecteur.

Bonjour,

Renseignez-vous sur la notion de gradient.
Voyez avec Google.

Bon courage.