Bonjour je dois déterminer la nature de la série de terme général (-)ncos()/n
sachant que j'ai essayé le critère spéciale des séries alternées qui ne sa'applique pas ici et la règle d'Abel qui ne s'applique pas non plus...
merci pour votre aide
excusez moi j'ai oublié le 1 dans la parenthèse... le terme général est (-1)ncos(
tu peux remarquer1<=(-1)^(n)cos(rac(n))<=1
en multipliant par 1/n
tu trouve comme minorant la série harmonique (je met le signe - à l'extérieur de la somme) donc ta série diverge
si j'ai bien compris on obtient
mais on ne peut pas conclure puisque le terme de gauche diverge vers -l'infini ... si?
si tu peux conclure c'est une propriété sur les séries
Soit A et B 2 séries
si A diverge et si A<=B alors B diverge
si B converge et si A<=B alors A converge
si A est positive je suis tout à fait d'accord mais la A est négative et par exemple -1/n<1/n2 et pour
en effet c'est pour des séries positives mais dans ton exo ca marche quand même
Sauf que ça ne marche que si les séries sont a termes positifs..
Au passage la série semble converger, mais pour le prouver c'est une autre paire de manche.
En utilisant la règle d'abel, il "suffit" de montrer que
Et je suppute que
j'ai rien dit
essaye l'absolue converge ca élimine le (-1)^n
A mon avis avec l'absolue convergence ça diverge ^^
oui on dirait
j'ai une question pourquoi ne pas utiliser le critère d'abel:
posons an=(-1)^(n)cos(racn) qui est borné par -1 et 1
et bn=1/n qui est décroissante à termes positifs et sa limite est 0
donc la série converge
Parce que le critère d'abel c'est pas ça ^^
Il faut que la série des an soit bornée, pas que an soit borné
Donc ça ne marche pas instantanement
effectivement j'ai essayé de voir quel pouvait être le comportement sur maple et la série semble converger vers -0,45 ou quelque chose comme ça et pour la règle d'Abel je suis d'accord j'ai essayé et ça ne marche pas... sinon l'un d'entre vous pourrait-il me dire si on peut citer plusieurs personnes dans une même réponse car la je viens d'utiliser la touche citer mais ça ne marche qu'une foisEnvoyé par Tryss
Sauf que ça ne marche que si les séries sont a termes positifs.
Au passage la série semble converger, mais pour le prouver c'est une autre paire de manche.
En utilisant la règle d'abel, il "suffit" de montrer que
Et je suppute que
j'ai pas bien compris ta phrase: Il faut que la série des an soit bornée, pas que an soit borné
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_d%27Abel
dans les exemples la suite an est bornée comme ici
Un exemple de pourquoi ça n'est pas ça :
posons an=1 qui est borné
et bn=1/n qui est décroissante à termes positifs et sa limite est 0
donc la série des 1/n converge
Bien évidement c'est faux
mais ici (-1)^ncos(racn) change de signe donc c'est bon
puisqu'on dit qu'on utilise ce critère quand les séries sont alternées
Sauf que (-1)^n*cos(racine(n)) /n n'est pas forcement alternée.
En effet, si cos(racine(n)) est du signe contraire à cos(racine(n+1)) (ce qui est le cas pour n=2), alors la serie n'est pas alternée !
oui c'est vrai j'avais pas vu
pas tout à fait car le cos(rac(n)) va également changer de signe parfois donc ce n'est pas alterné
oups désolé je n'avais pas vu ta réponse
étudions :
ça vaut :
je vous laisse continuer...
merci pour votre reponse mais je ne comprend pas l'idée on cherche a obtenir une somme de termes généraux de suite convergente c'est ca? car pour le cos je suis d'accord mais je ne vois pas comment on peut transformer le produit de sinusétudions :
ça vaut :
je vous laisse continuer...
Pour reprendre l'idée de Thorin :
On utilise alors l'inégalité des accroissements finis :
Donc
Bien vu par Tiky et superbement écrit.
C'est un peu (très peu) plus simple en prenant les accroissements finis pour la fonction cos(racine(x))/x
Mais on ne peut s'arrêter là : il faut montrer que la série converge pour tous les termes et pas seulement en groupant 2 à 2. Sinon, le contre-exemple :
S = 1 - 1 +1 - 1 +1 ... qui converge très bien 2 par 2.
Il faut montrer que le terme additionnel tend vers zéro (facile !)/
comme ça :merci pour votre reponse mais je ne comprend pas l'idée on cherche a obtenir une somme de termes généraux de suite convergente c'est ca? car pour le cos je suis d'accord mais je ne vois pas comment on peut transformer le produit de sinus
merci à tous pour vos réponses j'ai bien compris
Pour ceux qui veulent s'amuser on peut montrer la convergence absolue...
