Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE

[invitea12283fa]

Bonsoir, voila j'ai un problème dans un exercice qui n'a l'air cependant pas très compliqué.

Bref voici l'énoncé :

On veut résoudre, à l'aide de la transformation de Laplace, l'équation :

y'' - 3y' + 2y = H(t)exp(t)

a) Rappeler la formule reliant L(y) et L(y')

b) Ecrire l'équation vérifiée par L(y) sous la forme: L(y)=h(z) où h est une fonction rationnelle.

c) Décomposer h en éléments simples.

d) En déduire y.


Voilà, moi je bloque à la c) lors de la décomposition en élément simple.
Je me retrouve avec une fonction:

h = (-z² - 2z + 4)/(z^3 - 4z² + 5z - 2)

Je ne vois pas comment la décomposer. Ou peut-être me suis-je trompé avant.

J'aurais vraiment besoin de votre aide... Merci d'avance !
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[invite371ae0af]

je ne sais pas si h est juste mais tu peux mettre le dénominateur sous forme d'un produit en remarquant que pour z=1 le dénominateur s'annule

[invite371ae0af]

ton dénominateur devient (z-1)(z+1)(z+2)
tu peux alors chercher a,b,c
a/(z-1)+b/(z+1)+c/(z+2)

[invitea12283fa]

A bien sur ! Ok merci.

Mais pouvez vous m expliquer la méthode de décomposition en élément simple parce que je vous avoue que je n'est pas tous compris et je n'ai pas trouvé de bonnes méthodes sur internet :s ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...9ments_simples

rubrique:cas où les pôles sont simples

[invitea12283fa]

En fait je trouve que le dénominateur est égal à : (z-1)(z-1)(z-2).

Tout semble marcher et je trouve y = 4exp(t) - 5exp(2t).

Mais lorsque je vérifie je trouve y'' - 3y' + 2 = 0 et non exp(t).

Le pire c'est que j'ai vérifier 50 fois, je ne vois pas où est mon erreur...

[invitea12283fa]

PS : J'ai oublié un y dans mon message : Je trouve y" - 3y' + 2y = 0.

[invite371ae0af]

mais là ton y est la solution générale de l'équation différentielle sans second membre:y" - 3y' + 2y = 0

il faut maintenant chercher la solution particulière y0(t)

et tu auras y(t)=y₁(t)+y₀(t)

ou y1(t) est le y que tu viens de trouver