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Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE



  1. #1
    yassball

    Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE


    ------

    Bonsoir, voila j'ai un problème dans un exercice qui n'a l'air cependant pas très compliqué.

    Bref voici l'énoncé :

    On veut résoudre, à l'aide de la transformation de Laplace, l'équation :

    y'' - 3y' + 2y = H(t)exp(t)

    a) Rappeler la formule reliant L(y) et L(y')

    b) Ecrire l'équation vérifiée par L(y) sous la forme: L(y)=h(z) où h est une fonction rationnelle.

    c) Décomposer h en éléments simples.

    d) En déduire y.



    Voilà, moi je bloque à la c) lors de la décomposition en élément simple.
    Je me retrouve avec une fonction:

    h = (-z² - 2z + 4)/(z^3 - 4z² + 5z - 2)

    Je ne vois pas comment la décomposer. Ou peut-être me suis-je trompé avant.

    J'aurais vraiment besoin de votre aide... Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    369

    Re : Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE

    je ne sais pas si h est juste mais tu peux mettre le dénominateur sous forme d'un produit en remarquant que pour z=1 le dénominateur s'annule

  4. #3
    369

    Re : Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE

    ton dénominateur devient (z-1)(z+1)(z+2)
    tu peux alors chercher a,b,c
    a/(z-1)+b/(z+1)+c/(z+2)

  5. #4
    yassball

    Re : Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE

    A bien sur ! Ok merci.

    Mais pouvez vous m expliquer la méthode de décomposition en élément simple parce que je vous avoue que je n'est pas tous compris et je n'ai pas trouvé de bonnes méthodes sur internet :s ...

  6. #5
    369

    Re : Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE

    http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...9ments_simples

    rubrique:cas où les pôles sont simples

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    yassball

    Re : Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE

    En fait je trouve que le dénominateur est égal à : (z-1)(z-1)(z-2).

    Tout semble marcher et je trouve y = 4exp(t) - 5exp(2t).

    Mais lorsque je vérifie je trouve y'' - 3y' + 2 = 0 et non exp(t).

    Le pire c'est que j'ai vérifier 50 fois, je ne vois pas où est mon erreur...

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  10. #7
    yassball

    Re : Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE

    PS : J'ai oublié un y dans mon message : Je trouve y" - 3y' + 2y = 0.

  11. #8
    369

    Re : Laplace, équations différentielles BESOIN DE VOTRE AIDE

    mais là ton y est la solution générale de l'équation différentielle sans second membre:y" - 3y' + 2y = 0

    il faut maintenant chercher la solution particulière y0(t)

    et tu auras y(t)=y1(t)+y0(t)

    ou y1(t) est le y que tu viens de trouver

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