Calcul des résidus d'une fonction holomorphe

[ichigo01]

Salut à tous,

Je veux calculer l'intégrale suivante grâce aux résidus et j'ai besoin d'aide car il y a certaines choses que je ne comprend pas encore :


Le théorème des résidus nous dit que:

Où sont les singularité de la fonction

Ma première question: est ce qu'en pratique pour déterminer les singularité il suffit de déterminer les points où notre fonction holomorphe f n'est pas définie ?

Si c'est le cas, alors on aura un seul point de singularité : donc :


Maintenant il faut déterminer les résidus :
et un pôle d'ordre 1 un donc :
Et je ne sais pas comment calculer cette limite ! puisque je dois factoriser dans le dénominateur avec !

Merci d'avance !
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[invite899aa2b3]

Si tu sais que c'est un pôle d'ordre il faut t'aider de la dérivée.

[ichigo01]

Si tu sais que c'est un pôle d'ordre il faut t'aider de la dérivée.

Oui, dans notre cas le pôle est d'ordre m = 1 alors dans la formule du Résidu j'ai la dérivée (m-1)ème et m-1 = 0 dans notre cas ! c'est à dire pas de dérivée

Merci !

[invite899aa2b3]

On n'a pas besoin de cette formule générale : on reconnait un taux d'accroissement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

On n'a pas besoin de cette formule générale : on reconnait un taux d'accroissement.

Désolé, mais je n'ai pas compris de quel taux d'accroissement il s'agit et pourquoi ?

Merci

[invite899aa2b3]

En fait c'est plutôt l'inverse d'un taux d'accroissement. On pose . On a donc .

[ichigo01]

En fait c'est plutôt l'inverse d'un taux d'accroissement. On pose . On a donc .

Je n'ai pas compris, pourquoi ?
Et comment ce taux d'accroissement va me permettre de calculer le résidu ?

[invite899aa2b3]

J'ai posé (en ayant relu tous les messages de la discussion histoire de ne pas faire d'amalgame). On a par définition de la dérivée que .

[ichigo01]

D'accord, ça donne :
Par conséquent :



Maintenant il me reste à déterminer le lacet qui va me permettre de calculer mon intégrale, puisque je veux calculer :

[invite9617f995]

Bonjour,

Attention : f possède d'autres pôles que , par exemple .

Silk

[ichigo01]

Bonjour,

Attention : f possède d'autres pôles que , par exemple .

Silk

Oui, vous avez raison j'avais pas fait attention !
Les pôles seront donc les points :

[invite899aa2b3]

De toute façon tu va t'aranger pour que le lacet délimite un ensemble qui ne contiendra que comme pôle de .

[ichigo01]

De toute façon tu va t'aranger pour que le lacet délimite un ensemble qui ne contiendra que comme pôle de .

Oui, je vais prendre la portion de cercle de rayon A > 0 et d'angle ce qui va me permettre de découper mon intégrale sur le lacet en 3 intégrales.

[invite0fa82544]

Salut à tous,

Je veux calculer l'intégrale ............

Il me semble que le plus simple est d'utiliser le contour formé du demi-axe réel positif, un arc de cercle à l'infini et la demi-droite revenant vers l'origine et faisant l'angle avec l'axe réel. étant supposé plus grand que 1 (sinon l'intégrale diverge), l'arc de cercle a une contribution nulle. La deuxième demi-droite redonne l'intégrale cherchée au facteur près.

[ichigo01]

Il me semble que le plus simple est d'utiliser le contour formé du demi-axe réel positif, un arc de cercle à l'infini et la demi-droite revenant vers l'origine et faisant l'angle avec l'axe réel. étant supposé plus grand que 1 (sinon l'intégrale diverge), l'arc de cercle a une contribution nulle. La deuxième demi-droite redonne l'intégrale cherchée au facteur près.

Oui, merci ça devient plus clair maintenant, je vais faire les calculs et voir qu'est ce que ça donne.