Equation différentielle

[invited1100c14]

Bonjour,

Je suis en train de résoudre une équation différentielle et je suis bloquée

(E) : y' +y = sinx

L'équation homogène associé est (je vous passe les calcule qui sont à mon avis bon)

(E₀) : y = e^-x+k

Puis on cherche une solution particulière

y_p = C(x)e^-x

On dérive

y'_p = (C'(x) - C(x))e^-x

on a donc

sinx = (C'(x) - C(x))e^-x + C(x)e^-x

on trouve

sinx = C'(x)e^-x => C'(x) = sinx/e^-x

et c'est la que je bloq je ne vois pas comment trouver C(x) la primitive de C'(x)

Merci d'avance pour votre aide!
-----

[invite9617f995]

Bonjour,

Si tu veux le faire avec la variation de la constante, tu peux voir que C'(x)=sin(x)e^x et intégrer par partie deux fois pour trouver C(x).

Sinon, pour ce genre d'équation, c'est souvent plus rapide de chercher une solution particulière sous la forme y_p(x)=Asin(x)+Bcos(x).

Silk

[invited1100c14]

Comment on fait pour chercher y_p de la forme Asinx + Bcosx ?

J'ai déjà vu cette forme mais je vois vraiment pas?

[invited1100c14]

et j'ai essayer avec équation par partie mis ça s'arrête jamais vu que sinus et cosinus tournent à l'infini non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Tout simplement tu regarde quelles conditions il faut sur A et B pour que y_p(x)=Asin(x)+Bcos(x) soit solution de ton équation, en calculant y_p'(x) et en écrivant que y_p est solution ssi y_p'(x) + y_p(x)=sin(x).

Quand tu as une équa. diff. linéaire avec des cosinus et sinus en membre de droite, chercher des solutions de cette forme est souvent efficace et rapide.

Silk

Edit : pour l'intégration par partie, en en faisant deux, tu retrouves la même intégrale avec un moins. Tu la passe de l'autre côté et tu divises par 2.

[invited1100c14]

A merci j'avais fais une erreur de signe qui me donnais un truc impossible et en le réécrivant ici je m'en suis rendue compte et tout est rentré dans l'ordre merci beaucoup de votre aide c'est la première fois que j'y arrive x)