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Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz



  1. #1
    Chamimi

    Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz


    ------

    Bonjour,
    Je n'arrive pas à comprendre une ligne (celle où il y a écrit ICI) dans la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
    Soit E un -espace vectoriel muni d'un produit scalaire . Alors :

    L'égalité a lieu ssi la famille (x, y) est liée.

    Voilà la démonstration :
    *Fixons dans
    Si l'inégalité est vérifiée.
    Si alors et d'après la définition :

    Or :
    Donc :
    (*)
    Or est un complexe non nul, donc il existe réel tel que :
    .
    ICI Donc en utilisant (*) avec est un réel, on obtient :
    (**)
    Nous avons un trinôme du second degré en t à coefficients réel et de signe constant sur
    Donc :

    *Supposons que :

    Le polynôme, , du second degré en t, admet , admet une racine double .
    On pose . On obtient : puis .
    La réciproque est triviale.

    Comment sait-on que est égal à càd pourquoi s'agit-il du même que pour ?

    Je vous remercie d'avance pour vos réponses

    -----

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  4. #2
    art17

    Re : Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

    salut
    ils n'ont pas forcément le même argument mais on prend les de cette forme là puisque ce que tu as écrits avant est valable pour tous complexes donc entre pour autres ceux-là

  5. #3
    Chamimi

    Re : Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

    Je croyais que c'était le même argument au contraire, puisqu'en remplaçant et par respectivement et dans (*), on obtient (**).
    Quelque chose doit m'échapper...

  6. #4
    art17

    Re : Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

    Citation Envoyé par Chamimi Voir le message
    Je croyais que c'était le même argument au contraire, puisqu'en remplaçant et par respectivement et dans (*), on obtient (**).
    Quelque chose doit m'échapper...
    l'idée est simple mais à formuler en français c'est plus dur
    au début jusqu'à la ligne que tu ne comprends pas tu n'as fait aucune hypothèse sur mais rien ne t’empêches de dire que l'argument de vaut c'est un cas particulier de tes quatre lignes du dessus qui te permet dans ce cas particulier d'arriver a (**) et d'en conclure l'inégalité

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  8. #5
    Chamimi

    Re : Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

    Ah, mais oui !
    J'ai compris, merci pour ton aide

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