démo de cauchy schwarz

[Thorin]

salut, j'aimerais une vérification de cette démo :

soit E un espace vectoriel euclidien
soient a et b 2 vecteurs de cet e-v.
on prend une base orthonormale de telle que .

on a alors, d'où par pythagore :

puis
d'où l'inégalité de cauchy schwarz découle, avec le cas d'égalité apparaissant clairement.

Etant donné que la démo que j'ai toujours vue est celle à base de discriminant, je suppose que j'ai du faire une erreur quelque part, mais je trouve pas...

Merci
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[ericcc]

salut, j'aimerais une vérification de cette démo :

soit E un espace vectoriel euclidien
soient a et b 2 vecteurs de cet e-v.
on prend une base orthonormale de telle que .

on a alors, d'où par pythagore :

puis
d'où l'inégalité de cauchy schwarz découle, avec le cas d'égalité apparaissant clairement.

Etant donné que la démo que j'ai toujours vue est celle à base de discriminant, je suppose que j'ai du faire une erreur quelque part, mais je trouve pas...

Merci

Il me semble que ta démo est celle de l'égalité (7) de Matrhworld
http://mathworld.wolfram.com/CauchysInequality.html

[Romain-des-Bois]

Salut

puis

Peux-tu détailler ce "puis" ?

[Thorin]

petit oubli, il faut lire :

puis

mais ça change rien dans la mesure où on est confronté à des carrés (positifs)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Cela méritait quand même d'être corrigé

Je ne vois pas d'erreur non plus.

[Thorin]

Dans ce cas, je me demande bien pourquoi ce n'est pas celle généralement présentée en prépa il n'y a pas de grosses astuces parachutées, et elle est plutôt naturelle...bizarre

Ericc, je ne vois pas cette démo dans la page que tu as donné

[VioletRay]

Je suis tombé sur une démonstration éclair de Cauchy-Schwarz que je n'avais jamais vue auparavant qui consiste à développer, pour x,y > 0 et différents l'un de l'autre :



Source : pages 8,9
http://www-stat.wharton.upenn.edu/~s...WithCauchy.pdf

Malheureusement, elle n'est pas non plus très naturelle... Mais expéditive par contre !

[invitea41c27c1]

Une petite question :

En prepa on apprend l'orthogonalisé de Gramm-Schmidt avant ou après Cauchy-Schwarz ? (tu utilises l'existence de (e_1,e_2)). Il me semble qu'on apprend CS avant GS, mais bon...

[Thorin]

on apprend cauchy schwarz avant, je pense, mais je n'ai pas vu dans la démo de l'orthogonalisation le besoin de cauchy schwarz, donc on pourrait permuter...