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Application de l'inégalité de Schwarz



  1. #1
    Seirios

    Application de l'inégalité de Schwarz


    ------

    Bonjour à tous,

    J'aimerais démontrer la formule . Pour cela, j'ai lu qu'il suffisait de considérer l'inégalité de Schwarz, et que cette formule était une simple conséquence de l'inégalité.

    Inéquation de Schwarz :

    J'ai donc mis .

    Mais je ne vois pas comment continuer. Peut-être en écrivant , mais je ne vois pas comment établire cette égalité.

    Je ne sais pas non plus comment obtenir une égalité à partir de l'inégalité de Schwarz.

    Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

    Merci d'avance
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  4. #2
    fima

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    la reponse en piece jointe.

    Fima.
    Images attachées Images attachées

  5. #3
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Bonsoir.

    A moins qu'on ne soit pas du tout sur la même longueur d'onde, mais pour montrer le résultat, utilise plutôt que:


    Où | représente le produit scalaire.
    N'oublie pas que par définition, un produit scalaire est commutatif .

    François
    Cogito ergo sum.

  6. #4
    Magnétar

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Bonsoir,

    Je suis peut-être complètement à coté de la plaque (il est tard), mais cette égalité n'est pas toujours vrai (ou alors je n'ai absolument pas compris de quoi on parle) je pense que tu dois plutôt avoir :


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  8. #5
    Seirios

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par Magnétar Voir le message
    Je suis peut-être complètement à coté de la plaque (il est tard), mais cette égalité n'est pas toujours vrai (ou alors je n'ai absolument pas compris de quoi on parle) je pense que tu dois plutôt avoir :

    La formule donnée dans mon cours est bien celle que j'ai donnée. Mais après il est possible qu'il y est une coquille...

    Citation Envoyé par fima
    la reponse en piece jointe.

    Fima.
    Je n'arrive pas à lire la pièce jointe...Est-ce normal ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  9. #6
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    D'ailleurs je viens de regarder plus longuement. Et ||u.v|| n'a pas de sens puisque u.v est un scalaire et non un vecteur.
    Cogito ergo sum.

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  11. #7
    Seirios

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par Ledescat
    D'ailleurs je viens de regarder plus longuement. Et ||u.v|| n'a pas de sens puisque u.v est un scalaire et non un vecteur.
    Oui effectivement...J'ai trouvé cette formule dans l'énoncé de propriétés de vecteurs d'un espace vectoriel euclidien. J'ai également par la suite . Une idée de l'erreur ?

    la reponse en piece jointe.

    Fima.
    Finalement, j'arrive à la lire, je vais y jeter un coup d'oeil.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #8
    Seirios

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    la reponse en piece jointe.

    Fima.
    J'ai un doute sur l'égalité , ce n'est pas plutôt ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  13. #9
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    . Une idée de l'erreur ?
    Il manque simplement des flèches sur x et y (qui sont des vecteurs). C'est l'inégalité triangulaire, aucun problème.

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    J'ai un doute sur l'égalité , ce n'est pas plutôt ?
    Que représente la norme d'un scalaire pour toi ? A moins que vous ne fassiez la confusion entre | | et || ||.
    Cogito ergo sum.

  14. #10
    Seirios

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Il manque simplement des flèches sur x et y (qui sont des vecteurs).
    Oui j'ai oublié d'écrire d'insérer les flèches

    Que représente la norme d'un scalaire pour toi ?
    Absolument rien...J'essaye simplement de trouver une solution pour corriger la formule...

    A moins que vous ne fassiez la confusion entre | | et || ||.
    Non je ne pense pas faire de confusion entre le module et la norme (enfin j'espère )
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  15. #11
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Bon alors, quelle formule veux-tu démontrer ?
    Sans oublier de mettre des flèches, sans me parler de norme || || d'un scalaire etc...?

    François
    Cogito ergo sum.

  16. #12
    Scorp

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Bonjour à tous,

    J'aimerais démontrer la formule . Pour cela, j'ai lu qu'il suffisait de considérer l'inégalité de Schwarz, et que cette formule était une simple conséquence de l'inégalité.
    J'avoue ne pas réellement comprendre ce que tu cherche à démontrer. Cette formule est fausse dans le cas général.
    L'égalité que tu propose est un cas particulier d'égalité de "l'inégalité de Scwarz" : elle n'est donc vraie que pour certains vecteurs.
    Au passage, il s'agit bien de module autour du produit scalaire, et de norme autour des vecteurs. Ton égalité s'écrit donc :

    On parle de module pour un scalaire (réel, complexe), mais de norme pour un vecteur.

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  18. #13
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par Scorp Voir le message

    On parle de module pour un scalaire (réel, complexe), mais de norme pour un vecteur.
    Oui je suis d'accord (ou valeur absolue pour les réels).
    Disons que si l'on ne parle que de réels, on a le droite de dire que | | est une norme sur les réels.
    Mais à partir du moment où on doit parler de vecteurs (de IR² par exemple) et en même temps de scalaires dans IR, il apparaît très important de faire la distinction comme tu la fais.

    Sinon l'inégalité de Cauchy-Schwartz est:



    (tu la retiens en écrivant la formule du produit scalaire avec le cos, bornant donc facilement ton produit scalaire par rapport aux normes).

    François
    Cogito ergo sum.

  19. #14
    Le_Ced

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Salut,

    comme le disait scorp, cette égalite n'est pas toujours vraie. Il s'agit du cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy et de plus
    x et y sont liés
    Un petit coup de wikipédia et tout est bien expliqué !

    ++

  20. #15
    Seirios

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Donc ma formule était fausse (et il y a une coquille dans mon cours). Mais en quoi l'égalité est-elle une conséquence immédiate de l'inégalité de Cauchy-Schwarz ? (parce que l'égalité est effectivement dans l'article de wikipédia, mais pas comme conséquence de l'inégalité, du moins je pense...)

    Sinon une seconde question : le fait que l'on considère un espace vectoriel induit-il que x et y soient liés ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  21. #16
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Donc ma formule était fausse (et il y a une coquille dans mon cours). Mais en quoi l'égalité est-elle une conséquence immédiate de l'inégalité de Cauchy-Schwarz ? (parce que l'égalité est effectivement dans l'article de wikipédia, mais pas comme conséquence de l'inégalité, du moins je pense...)
    Oui ça découle de Cauchy Schwartz, si tu en veux une démonstration c'est facile à montrer.

    Sinon une seconde question : le fait que l'on considère un espace vectoriel induit-il que x et y soient liés ?
    Non pourquoi ?

    (1,0,0,0,0,0,0) et (2,1,8,0,1,2,3) de IR^7 ne sont pas liés.

    Mais tu touches une propriété du doigt: (k+1) vecteurs de IR^(k) sont toujours liés.
    Plus généralement, (k+1) vecteurs d'un espace vectoriel de dimension k sont liés.


    François
    Cogito ergo sum.

  22. #17
    FonKy-

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message

    Sinon une seconde question : le fait que l'on considère un espace vectoriel induit-il que x et y soient liés ?
    reformule ta seconde question, car je suis pas sur que Ledescat soit dans l'esprit de ta question. Moi je comprend que si on a l'égalité, alors les vecteurs sont liés, si c ta proposition alors je dirai qu'elle est juste, sinon reformule

  23. #18
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    reformule ta seconde question, car je suis pas sur que Ledescat soit dans l'esprit de ta question. Moi je comprend que si on a l'égalité, alors les vecteurs sont liés, si c ta proposition alors je dirai qu'elle est juste, sinon reformule
    Je dirais même que: égalité de cauchy Schwartz <=> vecteurs liés.

    Moi je pensais qu'il demandait si 2 vecteurs de IR^k étaient toujours liés .
    Cogito ergo sum.

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  25. #19
    Seirios

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Moi je pensais qu'il demandait si 2 vecteurs de IR^k étaient toujours liés
    C'est effectivement cela que je demandais, car j'ai dans un livre d'analyse : .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  26. #20
    Coincoin

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Salut,
    C'est clairement faux : prend deux vecteurs orthogonaux de norme non-nulle.
    Encore une victoire de Canard !

  27. #21
    Seirios

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    C'est clairement faux : prend deux vecteurs orthogonaux de norme non-nulle.
    Alors n'était peut-être pas la correction de ...
    Peut-être était-ce tout simplement , ce qui est, pour reprendre l'expression de mon cours, une conséquence immédiate de l'expression de l'inégalité de Schwarz que j'ai donné dans le message #1...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  28. #22
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Peut-être était-ce tout simplement , ce qui est, pour reprendre l'expression de mon cours, une conséquence immédiate de l'expression de l'inégalité de Schwarz que j'ai donné dans le message #1...
    Ce n'est pas une conséquence de l'inégalité de CS, c'est l'inégalité de CS.

    Une conséquence de cette inégalité est l'inégalité triangulaire.
    Cogito ergo sum.

  29. #23
    mananjanahary

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Salut a tous,

    Peut etre que je suis vraiment en retard mais je ne comprend pas pourquoi l'inegalite triangulaire resulte de l'inegalite de Cauchy Schwartz

  30. #24
    mananjanahary

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Je corrige: pas de l'inegalite de CS mais de l'inegalite en question plus haut

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  32. #25
    Ledescat

    Re : Application de l'inégalité de Schwarz

    Dans l'inégalité triangulaire , tout est positif, donc on peut comparer les carrés.
    (je ne mets pas les flèches sur u et v, mais ce sont des vecteurs ).



    Mais l'inégalité de Cauchy-Schwartz nous dit que (u|v)=<||u||.||v|| donc:



    D'où l'inégalité triangulaire (en enlevant les carrés).


    François
    Cogito ergo sum.

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