L'inégalité du réordonnement

[Antikhippe]

Bonjour tout le monde,

J'ai trouvé dans un livre de mathématiques, une partie de leçon sur l'inégalité du réordonnement, seulement, je n'y ai pas compris grand chose... J'ai ensuite cherché sur Internet, mais je n'ai trouvé que trois misérables réponses qui ne sont que des évocations de cette inégalité.

Quelqu'un aurait-il la patience de m'expliquer un peu ce concept de manière claire sachant que je suis en terminale S ?
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[Lord]

http://www.animath.fr/tutorat.html

Section Les cours de l'Olympiade française de mathématiques
Prendre Les inégalités, cours complet, et ça doit être le deuxième chapitre je crois.

[Antikhippe]

Merci pour l'adresse, Lord, je reviens si je ne comprends toujours pas.

[Antikhippe]

Pour voir si j'ai compris ou pas :

Est-ce-qu'on peut dire d'après l'inégalité du réordonnement, que la somme des produits d'un élément de E par un élément de F est maximale quand les éléments de E et de F sont croissants et qu'elle est minimale quand les éléments de l'un des deux ensembles sont croissants et que les éléments de l'autre ensemble sont décroissants ?

Exemple :
Soit E = {2;5} et F = {3;4}.

Somme maximale : 2x3 + 5x4 = 26.
Somme minimale : 2x4 + 5x3 = 23.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Salut,
C'est ça ! Mis à part que c'est aussi maximal quand les deux sont décroissants... Donc il est préférable de dire que si E est rangé de manière croissante, alors c'est maximal si F aussi et minimal si F est décroissant.

[Antikhippe]

Salut,
C'est ça ! Mis à part que c'est aussi maximal quand les deux sont décroissants...

OK, merci.

C'est parce que l'addition est commutative, non ? Ca revient au même de faire 2x3 + 5x4 et 5x4 + 2x3.

Mais à part ça, je n'ai pas bien compris l'histoire des permutations...

[Coincoin]

Euh... je ne suis pas spécialiste, étant donné que je ne connaissais pas cette inégalité avant de jeter un rapide coup d'oeil sur le lien de Lord, mais je peux essayer de t'expliquer un peu.
Dans le lien, ils prennent deux suite (a_n)_n et (b_n)_n, et ils regardent où est une permutation : en clair, tu mélanges tous les nombres et tu les numérotes. Par exemple, si , , , etc... alors ta suite s'écrit : b₂, b₂₇, b₁, ...
Maintenant, l'inégalité de réordonnement te dit que la somme considérée est maximale si on garde les b croissants, c'est-à-dire si (ça veut dire que la permutation n'a rien changé). La fonction est alors égale à l'identité Id. Et la somme est minimale si tu as tellement chamboulé ta suite que tu te retrouves avec les b classés dans l'ordre décroissant.

[Antikhippe]

Maintenant, l'inégalité de réordonnement te dit que la somme considérée est maximale si on garde les b croissants, c'est-à-dire si (ça veut dire que la permutation n'a rien changé).

Mais si la permutation n'a rien changé alors qu'au départ, on a {2;27;1} d'après ton exemple, alors on aura encore {2;27;1} et les b ne sont pas croissants donc la somme n'est pas maximale ? Il y a quelque chose que je ne comprends pas... En tout cas, merci de bien vouloir te pencher sur la question, Coincoin.

[Coincoin]

Euh... quand je dis "rien changer", c'est par rapport à {1,2,3,...}. Désolé de pas avoir été clair...

[Antikhippe]

Ah, ok... Donc au début, c'est forcément croissant, la suite ?

[Coincoin]

Oui, les a_i et b_i sont classés dans l'ordre croissant...

[Antikhippe]

Merci ! J'ai déjà beaucoup mieux saisi l'inégalité du réordonnement grâce à ce post ! Je vais maintenant essayer de le mettre en application...