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Racine carrée d'un nombre



  1. #1
    fragman

    Question Racine carrée d'un nombre


    ------

    Bonjour

    Je me demandais s'il y a un moyen de calculer la racine carrée d'un nombre. Existe-t-il une formule ou une suite convergente ? Sinon comment les calculatrices font-elles ce calcul ?


    Plus généralement, comment calculer ax, avec a dans IR+ et x dans IR ?

    -----

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  3. #2
    Bawah

    Re : Racine carrée d'un nombre

    Bonjour à tous,
    On peut effectivement approcher la racine carrée d'un nombre en utilisant une suite récurrente du type un+1=f(un), alors un théorème nommé théorème du point fixe nous dit que moyennant certaines conditions sur f (qu'elle soit contractante, c'est à dire qu'il existe k<1 tel que pour tout x et y, on a |f(x)-f(y)|<k|x-y|) la suite (un) converge vers le point fixe de f .En pratique, trouver une fonction contractante ayant pour point fixe la racine d'un nombre donné n'est pas tres compliqué (c'est du bidouillage).On peut aussi utiliser le développement en serie entière de (f->(1+x)^0.5).

    Voila.

  4. #3
    Evil.Saien

    Re : Racine carrée d'un nombre

    Salut,
    il me semble que les calculettes calculent toutes les fonctions en utilisant les développement limités en prenant les n (définit par le constructeur de la calculette) premiers termes.
    Ca donne une estimation de la fonction, d'autant plus proche de la vraie valeur si n est grand
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  5. #4
    erik

    Re : Racine carrée d'un nombre

    Un exemple de suite simple qui converge vers sqr(a) :
    u(n+1)=1/2*(u(n)+a/u(n))

    Erik

  6. #5
    erik

    Re : Racine carrée d'un nombre

    Je rajoute que c'est à partir de la suite donnée dans mon précédent post, qu'est calculée la racine carré dans beaucoup de langage de programmation (il y'a quelques subtilités et deux trois raffinements par rapport à la formule brute, mais dans le principe c'est ça)
    Je pense que c'est également le cas pour les calculatrices.

    Erik

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    fragman

    Re : Racine carrée d'un nombre

    Citation Envoyé par erik
    u(n+1)=1/2*(u(n)+a/u(n))
    Effectivement, cette formule marche bien et converge assez rapidement.

    Une idée pour ax ?

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  10. #7
    Jeremy

    Re : Racine carrée d'un nombre

    On utilise l'algorithme de Newton.

    On cherche x = sqrt(a)
    Donc on cherche la racine positive de f(x) = x² - a

    On commence par prendre un X0 positif, puis on calcule f(X0) = X0² - a
    On linéarise f en X0, f'(x) = 2x et on prend comme prochain pas du calcul X1 point ou la tangente en X0 de f s'annule

    Donc Xn+1 = Xn - f(Xn)/f'(Xn)

    Ca converge asses vite.

    Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton

  11. #8
    erik

    Re : Racine carrée d'un nombre

    C'est effectivement de l'algorithme de Newton que viens la suite u(n+1)=1/2*(u(n)+a/u(n)).

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