Je me demandais s'il y a un moyen de calculer la racine carrée d'un nombre. Existe-t-il une formule ou une suite convergente ? Sinon comment les calculatrices font-elles ce calcul ?
Plus généralement, comment calculer ax, avec a dans IR+ et x dans IR ?
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13/02/2005, 16h22
#2
Bawah
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Re : Racine carrée d'un nombre
Bonjour à tous,
On peut effectivement approcher la racine carrée d'un nombre en utilisant une suite récurrente du type un+1=f(un), alors un théorème nommé théorème du point fixe nous dit que moyennant certaines conditions sur f (qu'elle soit contractante, c'est à dire qu'il existe k<1 tel que pour tout x et y, on a |f(x)-f(y)|<k|x-y|) la suite (un) converge vers le point fixe de f .En pratique, trouver une fonction contractante ayant pour point fixe la racine d'un nombre donné n'est pas tres compliqué (c'est du bidouillage).On peut aussi utiliser le développement en serie entière de (f->(1+x)^0.5).
Voila.
13/02/2005, 16h28
#3
Evil.Saien
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Re : Racine carrée d'un nombre
Salut,
il me semble que les calculettes calculent toutes les fonctions en utilisant les développement limités en prenant les n (définit par le constructeur de la calculette) premiers termes.
Ca donne une estimation de la fonction, d'autant plus proche de la vraie valeur si n est grand
Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs
13/02/2005, 16h32
#4
erik
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Re : Racine carrée d'un nombre
Un exemple de suite simple qui converge vers sqr(a) :
u(n+1)=1/2*(u(n)+a/u(n))
Erik
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A voir en vidéo sur Futura
13/02/2005, 16h41
#5
erik
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Re : Racine carrée d'un nombre
Je rajoute que c'est à partir de la suite donnée dans mon précédent post, qu'est calculée la racine carré dans beaucoup de langage de programmation (il y'a quelques subtilités et deux trois raffinements par rapport à la formule brute, mais dans le principe c'est ça)
Je pense que c'est également le cas pour les calculatrices.
Erik
13/02/2005, 16h55
#6
fragman
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Re : Racine carrée d'un nombre
Envoyé par erik
u(n+1)=1/2*(u(n)+a/u(n))
Effectivement, cette formule marche bien et converge assez rapidement.
Une idée pour ax ?
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13/02/2005, 16h56
#7
Jeremy
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Re : Racine carrée d'un nombre
On utilise l'algorithme de Newton.
On cherche x = sqrt(a)
Donc on cherche la racine positive de f(x) = x² - a
On commence par prendre un X0 positif, puis on calcule f(X0) = X0² - a
On linéarise f en X0, f'(x) = 2x et on prend comme prochain pas du calcul X1 point ou la tangente en X0 de f s'annule