Racine carrée d'un nombre
Bonjour
Je me demandais s'il y a un moyen de calculer la racine carrée d'un nombre. Existe-t-il une formule ou une suite convergente ? Sinon comment les calculatrices font-elles ce calcul ?
Plus généralement, comment calculer ax, avec a dans IR+ et x dans IR ?
Bonjour à tous,
On peut effectivement approcher la racine carrée d'un nombre en utilisant une suite récurrente du type un+1=f(un), alors un théorème nommé théorème du point fixe nous dit que moyennant certaines conditions sur f (qu'elle soit contractante, c'est à dire qu'il existe k<1 tel que pour tout x et y, on a |f(x)-f(y)|<k|x-y|) la suite (un) converge vers le point fixe de f .En pratique, trouver une fonction contractante ayant pour point fixe la racine d'un nombre donné n'est pas tres compliqué (c'est du bidouillage).On peut aussi utiliser le développement en serie entière de (f->(1+x)^0.5).
Voila.
Salut,
il me semble que les calculettes calculent toutes les fonctions en utilisant les développement limités en prenant les n (définit par le constructeur de la calculette) premiers termes.
Ca donne une estimation de la fonction, d'autant plus proche de la vraie valeur si n est grand
Un exemple de suite simple qui converge vers sqr(a) :
u(n+1)=1/2*(u(n)+a/u(n))
Erik
Je rajoute que c'est à partir de la suite donnée dans mon précédent post, qu'est calculée la racine carré dans beaucoup de langage de programmation (il y'a quelques subtilités et deux trois raffinements par rapport à la formule brute, mais dans le principe c'est ça)
Je pense que c'est également le cas pour les calculatrices.
Erik
Effectivement, cette formule marche bien et converge assez rapidement.Envoyé par erik
Une idée pour ax ?
On utilise l'algorithme de Newton.
On cherche x = sqrt(a)
Donc on cherche la racine positive de f(x) = x² - a
On commence par prendre un X0 positif, puis on calcule f(X0) = X0² - a
On linéarise f en X0, f'(x) = 2x et on prend comme prochain pas du calcul X1 point ou la tangente en X0 de f s'annule
Donc Xn+1 = Xn - f(Xn)/f'(Xn)
Ca converge asses vite.
Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton
C'est effectivement de l'algorithme de Newton que viens la suite u(n+1)=1/2*(u(n)+a/u(n)).
