Bonjour, je comprend pas vraiment la notion d' intégrale pour avoir une base infinie c 'est à dire quand on associe aux fonctions u et v un produit scalaire.
u.v=int u(t).v(t)dt
Les vecteurs de bases corresponde à quoi?
En est-il pareil pour le cas complexe?
rappelle-toi les premières fois que tu as vu les fonction, lorsque tu les as découvertes.
on te faisasit faire quoi ?
des tableaux de valeurs : tu choisissais plein de x, et tu calculais les y qui allaient avec ,et tu plaçais les points.
ex avec:
(x -> y)
(-3 -> 9)
(-2 -> 4)
(-1 -> 1)
(0 -> 0)
(1 -> 1)
(2 -> 4)
(3 -> 9)
etc...
Pour chaque valeur de x correspond un certain résultat de la fonction.
Si tu changes une seule de ces valeurs, ce n'est plus la même fonction.
et le truc, c'est qu'on ne peut pas écire toutes les valeurs bien sûr, donc le graphe est plus agréable.
mais le principe des espaces de fonction, pourquoi un espace de fonction est à "dimension infinie" (et non dénombrable) c'est ça :
il y a la coordonnée "n°" 1, celle qui correspond à x=1. (dans mon exemple cette coordonée vaut 1)
il y a la coordonnée "n°" 2, celle qui correspond à x=2.(dans mon exemple cette coordonée vaut 4)
il y a la coordonnée "n°" 3, celle qui correspond à x=3. (dans mon exemple cette coordonée vaut 9)
il y a la coordonnée "n°" -1, celle qui correspond à x=-1. (dans mon exemple cette coordonée vaut 1)
il y a la coordonnée "n°" 0,5 , celle qui correspond à x=0,5. (dans mon exemple cette coordonée vaut 0,25)
il y a la coordonnée "n°" 0,0002312, celle qui correspond à x=0,0002312 (dans mon exemple cette coordonée vaut 0,0002312 au carré)
si tu préfères, une fonction est un grand "vecteur" de valeurs, sauf qu'il y en a trop pour l'écrire en vecteur avec des parenthèses.
Ensuite, si on veut définir un produit scalaire, ça après c'est un problème de définition. Quelle est la définition du produit scalaire sur un espace vectoriel ?
Tu constateras que c'est toujours la somme du produit des deux coordonnées, sauf qu'au lieu de somme on a mis une intégrale, comme souvent dans le passage discret (quelques coordonnées) -> continu (une infinité non-dénombrable de coordonnées )
après la notion de base est aussi délicate. On n'est pas en dimension finie, donc vérifie tes définitions, mais en gros pour faire une base "canonique" tu peux imaginer les fonctions qui font 1 pour un certain x et 0 partout ailleurs (et en fait ce n'est pas suffisant).
ça correspond aux vecteurs de base canonique (1;0;0) et (0;1;0) et (0;0;1) par exemple.
par contre je ne comprends pas ce que tu veux dire, quel lien attends tu entre un produit scalaire et les vecteurs de base ?
ok j' y vois bien plus clair, les vecteurs de base se décrivent donc comme une suite x1.x'1+x2.x'2+...+xn.x'n qui doit converger vers 0 pour vérifier que tout les vecteurs de base sont orthogonaux.
Si j' ai bien compris x1.x'1 forme une "premier" vecteur de base et etc
je ne comprends pas trop là.
dans un produit scalaire, tu multiplies les "composantes" ça te donne un nombre. rien à voir avec des vecteurs ou des bases.
ex : (1;5;2) . (10;-4;2) = 1*10+5*(-4)+2*2
1*10 et 5*(-4) n'ont rien à voir avec une "base" ou un vecteur.
Je t'invite à aller revoir la définition d'un produit scalaire sur Wikipédia. La définition générale, pas celle que tu proposes.Envoyé par lioobayoyo
D'ailleurs votre définition de base est toute aussi hasardeuse.
@maxwellien : pourrais-tu préciser dans quel espace fonctionnel tu travailles ? Ton espace est peut-être de Hilbert. Auquel cas tu pourras construire une base de Hilbert
je ne connais pas les nominations mais ce sont des espaces vectoriels munis du produit scalaire dans R ou C
Si tu ne connais pas la nature des éléments de ton espace vectoriel, ça va être impossible de t'aider.
Tu ne précises pas d'ailleurs dans la définition de ton produit scalaire sur quel ensemble tu intègres ? Un compact ? R tout entier ?
Si par exemple ton espace vectoriel est l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle
bonjour, considérons un espace vectoriel hilberts de base infinie, le produit scalaire sert à définir la base?
Je t'ai parlé de base de Hilbert. Ce n'est pas la même chose qu'une base algébrique en dimension finie.
On appelle base algébrique d'un espace vectoriel E, toute famille
- La famille est libre. C'est-à-dire que pour toute partie finie
- La famille est génératrice. Tout vecteur de E s'écrit comme une combinaison linéaire finie d'éléments de la famille.
Dans une base algébrique, on raisonne toujours avec des combinaisons linéaires finies.
L'axiome du choix permet de démontrer que tout espace vectoriel admet une base algébrique.
On voudrait savoir si un espace vectoriel réel ou complexe possède toujours une base algébrique orthonormée. La réponse est non. Dans le cas particulier où l'on possède une base algébrique dénombrable, on peut utiliser le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir une base algébrique orthonormée. C'est ce qu'on fait dans un espace vectoriel de dimension finie ou plus généralement dans un espace vectoriel séparable.
Si maintenant on considère l'espace préhilbertien
Comme tu peux le voir, on travaille alors avec des sommes infinies (voir famille sommable) et non des sommes finies.
ok ok donc si la dimension est infini et les vecteurs de bases orthogonaux u.v=int u(t).v(t)=0 si j' ai bien compris
Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Pourrais-tu préciser le contexte ? Au vue de ton pseudo, je suppose que tu suis des études de Physique ? Est-ce une question relative à des Mathématiques appliqués à la Physique ?
non c' est faux en fait je voulais traduire l' orthogonalité de la base qui est de dimension infinie donc f.g=0 non?
gramm smitd c 'est pas possible
C'est qui f et g ? Ce qui est vrai, c'est que deux éléments distincts de la base de Hilbert sont orthogonaux pour le produit scalaire en question donc par définition le produit scalaire de ces deux éléments est nul. Pourrais-tu répondre aux questions que je te pose, pour l'instant c'est un véritable dialogue de sourds.
f et g sont les 2 fonctions qui servent à obtenir les vecteurs de base
donc par exemple (f(1).g(1)).(f(2).g(2))=0
Visiblement tu confonds la notion de vecteur et de coordonnées d'un vecteur dans une certaine base. Ne tiens pas compte du premier message de lioobayoyo qui est particulièrement confus.
On appelle vecteur d'un espace vectoriel un élément de l'espace vectoriel. C'est tout.
Toutefois il y a une approche intéressante en dimension finie et qui vient naturellement.
Soit E un
Cet isomorphisme étant l"application qui associe à chaque vecteur x de E le vecteur coordonnée de x dans la base
Si donc tu considères l'espace vectoriel
Mais tout ceci n'est valable qu'en dimension finie, donc oublie l'idée de coordonnées en dimension infinie.
Bref tout ça pour dire que les vecteurs de ton espace fonctionnel sont des fonctions.
Regarde l'exemple de base de Hilbert fourni à la fin de l'article Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_de_Hilbert
Lis attentivement l'article et s'il y a des choses que tu comprends dessus, pose des questions.
