orthonormalisation et orthogonalisation aide svp

[invite4002ebae]

bonjour a tous alors voila je ne comprend mis alors pas du tout comment orthonormalisée j'aimerais que vous me donniez un exemple simple et bien détailler parce que sur internet j'en trouve pas et je comprend pas la formule sinon j'ai ceci comme exo par exemple:

Soit q la forme quadratique sur R4 dont la matrice dans la base canonique de R4 est
(−2 0 −3 0)
( 0 1 0 0)
(− 3 0 − 2 0)
(0 0 0 1)

question: Calculer une base de R4 qui est orthogonale pour q et orthonormale pour le produit scalaire canonique de R4.

je vous serais très reconnaissant si vous m'aidez
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[ichigo01]

Salut,

Tu dois d'abord exprimer la forme quadratique à partir de la matrice et ensuite tu utilises la méthode de Gauss pour l'écrire sous forme de somme de carrés !

[invite9617f995]

Bonjour,

Ichigo, le problème de Gauss c'est que ça donne pas une base orthogonal pour le produit scalaire.

Il faut plutôt diagonaliser la matrice dans une base orthogonale qui sera alors aussi q-orthogonale (possible par le théorème spectral).

Silk

[ichigo01]

Bonjour,
Ichigo, le problème de Gauss c'est que ça donne pas une base orthogonal pour le produit scalaire.
Silk

Pourquoi ça donne une base pour le produit scalaire ?
Grâce à la méthode de Gauss on obtient l'expression de q sous forme de somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes qui représentent une base duale.
La base biduale associée est celle qu'on cherche.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4002ebae]

donc si je comprend bien je calcul le polynôme caractéristique ensuite je calcul les espace propre si j'en ai un de multiplicité supérieur a 1 j'utilise l'orthonormalisation de grimm sinon j'orthonormalise normalement c'est ca ? par exemple j'ai cette matrice

(2 1 2)
(1 2 2)
(2 2 5)

j'ai essayer d'orthonormalisée et j'ai trouver ca :

( (-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2,0) ; (-sqrt(3)/3, -sqrt(3)/3, sqrt(3)/3); (sqrt(6)/6, sqrt(6)/6, sqrt(6)/3))

dis moi si c'est juste merci ou si ma démarche est bonne

[ichigo01]

Quelle est l'expression de q ? (à partir de la matrice)

[ichigo01]

si

Qui est assez simple pour appliquer la méthode de Gauss et la réduire sous formes de carrés !

[invite4002ebae]

oui je suis d'accord a dire que c'est facile a orthogonaliser et après tu fais quoi parce que moi en faites j'utilise pas cette méthode je calcul le polynome caractéristique (ici 1 de multiplicité 2 et 7 ) ensuite je calcul l'espace propre de 7 et j'orthonormalise assez facilement et après pour le 1 je trouve 2 espace j'en orthonormalise 1 et après le deuxième j'utilise la formule de grimm v2= u2 - (u2x1/norme(u1)xu1)1/norme(u1)xu1

je trouve un autre vecteur et la je le normalise et c'est bon non ?