Espace abstrait

[invite48969fb6]

Bonsoir,

Est il possible d'obtenir un espace qui à une infinité d'angles droits ?
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[invite986312212]

bonjour,

ta question n'est pas claire, les espaces n'ont pas naturellement d'angles droits. Peut-être veux-tu parler d'une configuration de points ou de droites?

[invite48969fb6]

Oui, je veux parler de droites pour disposer d'un repére.

[Tiky]

Bonsoir,

Je ne suis pas sûr de comprendre précisément ta question. Tu voudrais une infinité de droites orthogonales deux à deux ?

Il existe des espaces vectoriels de dimension infinie admettant une base (algébrique) orthonormée. Autrement dit les vecteurs de cette base sont orthogonaux deux à deux.

Un exemple simple est l'ensemble des suites numériques à support finie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite48969fb6]

Tu voudrais une infinité de droites orthogonales deux à deux ?

Oui précisement.

[Tiky]

Et bien mon exemple répond à ta question si par droite tu entends droite vectorielle.

Soit l'espace vectorielle des suites à support finie.
Je te rappelle que le support d'une suite est l'ensemble des indices pour lesquels la suite est non-nulle.

Soit la suite nulle partout sauf à l'indice i où elle vaut 1.
Il est clair que la famille est libre et génératrice. C'est une base de .

On définit le produit scalaire comme ceci :
Cette somme est toujours bien définie puisque les suites sont à support finie et donc la dite somme est finie.

De plus si , et . C'est bien une base orthonormée.

[invite48969fb6]

Ah en effet, c'est possible.