notion de différentielle(total exacte) non comprise

[invite99e93d4e]

Bonjour,

j'ai du mal à comprendre la notion de différentielle ( je précise qu'étant en L1,c'est une notion que je n'est pas encore vu en cours donc je vais surement dire des bêtises dans la suite du message mais j'espère apprendre avec vos corrections).

Je vais m'appuyer sur la fonction f(x,y)=x²+xy

puisque et
donc en (1,2), par exemple, on a et
donc la différentielle de f en (1,2) est df=4dx+1dy.

mais on m'a dit que la différentielle de f en un point était une application linéaire et c'est ce fait que je ne comprend pas.
Pour moi, 'd' comme ont le sens de variations infinitésimal dans ma tête donc dx est une variation infinitésimal de x, donc une différence, donc un nombre. pareil pour dy donc df est aussi un nombre et pas une application linéaire.

Pourriez vous me dire où sont mes erreurs?

merci pour avoir consacré un peu de votre temps pour la lecture de mon message.
-----

[Amanuensis]

mais on m'a dit que la différentielle de f en un point était une application linéaire et c'est ce fait que je ne comprend pas.

Soit g(t)=(gx(t), gy(t)) une fonction dérivable de R vers R² telle que g(0)= (1,2). Elle a pour dérivée la fonction vectorielle t --> (gx'(t),gy'(t)).

Prenons maintenant la fonction h = fog, c'est une fonction de R dans R, elle est dérivable et sa dérivée en 0 est obtenue en appliquant l'application linéaire "différentielle de f" en g(0)=(1,2) à la dérivée de g en t=0, soit 4gx'(t)+gy'(t).

Par exemple, si g(t) = (1+t²,2+t), sa dérivée en t=0 est (0,1), on fog(t) = (1+t²)²+(1+t²)(2+t) = 1+2t²+t⁴ +2+t+2t²+t³, dont la dérivée en 0 vaut 1 (le coefficient de t), ce qui est bien 4x0+1.

La différentielle d'une fonction de R² vers R est une application linéaire s'appliquant à des dérivées de fonctions de R vers R² pour obtenir la dérivée de leur composition.

Ou encore, la différentielle de f est une application linéaire qui, appliquée à un vecteur, donne la dérivée directionnelle de f dans la direction du vecteur.

Pour moi, 'd' comme ont le sens de variations infinitésimal dans ma tête donc dx est une variation infinitésimal de x, donc une différence, donc un nombre. pareil pour dy donc df est aussi un nombre et pas une application linéaire.

La notation "dx" a deux significations distinctes. L'une est un infinitésimal, l'autre est la différentielle de la fonction (x,y) --> x. Dans l'écriture df=4dx+1dy, c'est la seconde signification. On montre que les deux différentielles dx et dy forment une base de l'espace des applications linéaires, et l'écriture df=4dx+1dy est juste la décomposition de la différentielle (l'application linéaire) df dans cette base.

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Pour dire autrement afin d'avoir différente présentation de la même chose.



Si , au point de coordonnées (3,2), on a , qui est une application lineaire. Elle est définie par

.

Ce qui signifie que, au premier ordre, .

sont des vecteurs (que l'on peut noter aussi ou ) d'une base duale de (l'espace des formes linéaires sur ) qui appliqué en un vecteur de donne sa i-ème coordonnée dans la base e de

Par exemple la forme linaire dx(3,2) serait définie par

Les formes linéaires et ont pour valeur en tout point les vecteurs et de la base duale de la base canonique de .

Patrick