convergence normale

[invite317470b8]

Bonjour tout le monde

j'ai besoin de votre aide, il se trouve que j'ai du mal à résoudre les question là ou on nous demande de montrer qu'une serie de fonction converge normalement sur un segment,

Par exemple je désire prouver que la série (x^n)/(1-x^n) converge normalement sur un segment [a,a] avec 0<a<1

d'abord je trouve, si je ne me trompe pas, que la série de fonction convergence simplement vers la fonction nul, mais je me bloque après:
devrais-je chercher à montrer que la fonction converge uniformément ou bien procédé avec une majoration, mais avec quoi dois-je la majoré ?? une astuce pour savoir majoré peutetre?
pouvez vous m'aidez avec cette serie de fonction ?? SVP
MERci d'avance!
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
on a pour que . Il ne reste plus qu'à contrôler par un truc qui ne dépend pas de .

[invite317470b8]

oui en effet, c'est la ou réside mon problème, la majoration de 1/(1-x^n) par un terme que ne depend pas de x bien evidement,

voilà on remarque que le terme 1/(1-x^n) tend ver 1 quand n tend ver l'infini peut-on dire qu'il est majoré avec 1???? et donc on aura (x^n)/(1-x^n) < a^n ???
merciii enormément

[invite899aa2b3]

Ce n'est pas nécessairement majoré par (ça dépend du signe de ) mais on peut s'aider de l'inégalité puis se servir du fait que pour obtenir une borne (qui dépend de ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite317470b8]

j'en conclue alors que la ma série est majoré par (a^n)/(1-a^n) ???
je dois tendre n ver l'infini et avoir O pour conculure que ma série converge normalement????
MERci

[Tiky]

Tu as déjà démontré la convergence de cette série dans la première question de l'examen. Il suffit de remarquer que ...

[invite317470b8]

donc ce que je fais est juste?ma majoration?

[Tiky]

Oui elle est juste.

[invite317470b8]

on me demande de déduire le domaine de continuité de la série de fonction, il suffit de dire que (x^n)/(1-x^n) est continue est puisqu'on a la convergence normale conduit à la convergence uniforme qui préserve la continuité on pourra conclure que f est continue elle aussi sur le segment de convergence uniforme [-a,a] avec 0<a<1 .
c'est correcte?

[invite317470b8]

SVP de l'aiiiiiide

[Tiky]

Ton raisonnement est juste. Toutefois tu peux montrer que ta fonction est continue sur . N'oublie pas que la continuité est une propriété locale