Convergence normale, convergence absolue des séries entières

[Clairema]

Bonjour,
Je viens de commencer les séries entières, et j'ai une question.

Une propriété de mon cours dit la chose suivante:
En notant R le rayon de convergence de la série a_nzⁿ,
i) la série a_nzⁿ converge absolument sur le disque ouvert D(O,R)={z appartenant à C, |z|<R}
ii) la série a_nzⁿ converge normalement sur tout disque fermé D(O,r) où r<R.

Ma question est donc la suivante : Si la série converge absolument sur le disque ouvert D(O,R), alors elle converge absolument sur le disque fermé D(O,r) où r<R? Et de même, si elle converge normalement sur tout disque fermé D(O,r), alors elle converge normalement sur le disque ouvert D(O,R)?
La convergence normale est-elle ici la même chose que la convergence absolue?
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[invite57a1e779]

Si la série converge absolument sur le disque ouvert D(O,R), alors elle converge absolument sur le disque fermé D(O,r) où r<R?

Oui ! Qui peut le plus peut le moins

Et de même, si elle converge normalement sur tout disque fermé D(O,r), alors elle converge normalement sur le disque ouvert D(O,R)?

Hélas non, il suffit de considérer le cas de la série géométrique qui ne converge pas normalement sur le disque ouvert D(0,1) puisque tous les termes de la série ont la même borne supérieure sur ce disque : 1.

La convergence normale est-elle ici la même chose que la convergence absolue?

Ces deux convergences restent distinctes, même dans le cas des séries entières.