Convergence normale

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
je cherche un exemple plus ou moins simple de série qui converge normalement mais qui ne convergerait pas.
Si vous aviez des idées ca me serait utile, je suis sur que c'est simple, mais je n'en trouve pas.
Cordialement,
Quinto
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[invite7c294408]

Attends,
si une serie converge normalement alors on a somme (normes ( termes)) < infini

D'apres l'inegalite triangulaire ca voudrait dire que
norme( somme (termes)) < somme (norme(termes))

donc la serie converge.

C'est pas dans 'l'autre sens que tu veux ton contre-ex?: tu veux une serie qui converge mais pas aboslument: le cas de (-1) puissance (n+1)/ racine (n)

Ca converge, la somme de ces termes est finie (semi) mais pas absolument car 1/ racine (n) diverge.

Dis moi ce que tu en penses...

[inviteab2b41c6]

Bonsoir,
merci de ta réponse, mais ce que tu dis est clairement faux, le fait que la somme des normes soit supérieur à la norme de la somme prouve ... que la norme de la somme est finie (ie: bornée), mais pas qu'elle converge....

Un exemple simple de suite qui converge en norme mais qui ne converge pas, serait par exemple ((-1)^n,(-1)^(n+1)) de norme 1 pour tout n, et ne converge clairement pas.
Notons qu'ici je cherche une série et non pas juste une suite, donc mon contre exemple ne me conviendrait pas.

A+

[invitedf667161]

Je crois que c'est toi qui confond ici Quinto.
Déjà pour une série de réels on parle plutôt de convergence absolue que de convergence normale (ce terme étant reservé a séries de fonctions par exemple).

Ensuite la convergence absolue entraine la convergence simple ; un coup d'inégalité triangulaire suffit à le voir comme l'a fait tommyb.

La réciproque est fausse et le contre exemple de tommyb est bon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c294408]

Guyem, en fait Quinto a raison. Il faut supposer E complet pour le theoreme.Ca ne marche pas dans le cas ou E n'est pas complet.

Dans ce cas, on peut trouver un contre-ex:

Prend E=R[X] (les polynomes)
P = somme a(n) X^n
norme (P) = sup abs( a(n))

prend a(n)= 1/2^n

[invite7c294408]

mais c'est clair que dans R^n il n'y a aucun souci...

[invite7c294408]

Quinto, juste un autre truc si tu n'es pas convaincu de l'implication dans le cas ou E est complet.
La raison pour laquelle ta serie converge provient du critere de Cauchy...tu utilises la meme inegalite triangulaire mais tu prends les termes "de Cauchy" et tu choisis un epsilon suffisamment petit...
Good luck

[inviteab2b41c6]

Guyem, en fait Quinto a raison. Il faut supposer E complet pour le theoreme.Ca ne marche pas dans le cas ou E n'est pas complet.

Dans ce cas, on peut trouver un contre-ex:

Prend E=R[X] (les polynomes)
P = somme a(n) X^n
norme (P) = sup abs( a(n))

prend a(n)= 1/2^n

C'est une réponse comme celà que j'attendais, merci bien.
Je suis convaincu de l'autre implication, mais c'est pas uniquement l'inégalité triangulaire qui fonctionne, la complétude a aussi sa place.
Merci.

[inviteab2b41c6]

En fait j'avais cet exemple en tête depuis le début, mais je ne sais pas pourquoi, je viens de me convaincre que maintenant que c'est correcte:
(Pn) une suite de polynômes, définis sur [0,1] par
Pn(X)=X^n/n!
La série S(P)(X) converge en norme (la même que tu donnes) mais pas uniformèment.
En fait c'est grosso modo le même exemple et la même idée sous jacente, R[X] n'est pas fermé.
Merci,
A+