Métrique de Gauss et variété de Riemann, forcément un tenseur de Ricci et courbure ?

[invite9f80122c]

Bonjour à tous,

Dans un espace à 4 dimensions, donc par exemple un espace de minkowski, est-il possible de caractériser un champ scalaire autrement qu'en introduisant un tenseur de Ricci donc un symbôle de Christoffel et d'une certaine manière une courbure ?

Imaginons un cas pratique, on a un espace 4D et sa métrique , et on veut définir un champ de température scalaire variable en tout point de cet espace, on peut écrire un intervalle d'espace-temps tel que :



T(x) étant ce champ de température scalaire en tout points défini et continu.

Le seul moyen que j'ai trouvé est de définir un tenseur de Ricci et de passer par le même formalisme qu'en RG qui définit une courbure et donc des géodésiques de Température, or l'idée est que les différents référentiels ou corps se déplaçant dans cet espace ne feront que subir la température, ils ne prendront pas préférentiellement la direction de géodésiques.

En fait c'est pour comparer le comportement dans le cas où un objet suivrait des géodésiques de température (je sais faire, en gros comme en relativité générale on pose une condition de modification de trajectoire en fonction des géodésiques), et le cas où la température n'aurait aucune influence sur la trajectoire (cependant il faut savoir à quel champ est soumis l'objet car il subit des modifications mais pas de sa trajectoire). J'espérais donc trouver une méthode différente pour ce dernier cas (plus simple).

J'espère être clair, merci d'avoir lu et d'avance pour vos réponses !
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[Amanuensis]

Métrique + hypothèse de torsion nulle => il existe une connexion unique sur le fibré tangent compatible avec la métrique (connexion de Levi-Civita).

Une connexion sans torsion sur le fibré tangent => tenseur de courbure, dit de Riemann.

Contraction du tenseur de courbure => scalaire de Ricci.

Ce n'est pas (seulement) le formalisme de la RG, c'est de la géométrie différentielle.

PS : Dans un espace de Minkowski, le tenseur de courbure est nul, et donc le scalaire de Ricci itou.

[invite231234]

Salut !

ça existe ça les géodésiques de température ???

@ +

[invite9f80122c]

Salut !

ça existe ça les géodésiques de température ???

@ +

Non, mais si on pose une condition sur la trajectoire sur les températures on obtient des directions privilégiées, l'intensité de la température par exemple. Par exemple certains insectes se dirigent naturellement vers les zones chaudes, c'est équivalent à la notion de courbure en RG car ils chercheront localement la trajectoire la plus chaude en fonction de leurs perceptions.

Mais j'aimerais décrire un espace avec un champ de température modifiant les propriétés de ce qui le traverse mais pas sa trajectoire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9f80122c]

Contraction du tenseur de courbure => scalaire de Ricci.

Ce n'est pas (seulement) le formalisme de la RG, c'est de la géométrie différentielle.

PS : Dans un espace de Minkowski, le tenseur de courbure est nul, et donc le scalaire de Ricci itou.

Oui mais une fois déterminé un champ de température l'espace est modifié. Pas comme en EM car là ça ne modifie pas la perception de l'espace par l'objet.
Ici l'espace lui même modifie la façon dont il est perçu par le corps le traversant. Mais sans modifier sa trajectoire.

Et comme on est en 4D, on a un tenseur de Ricci, etc. or je voulais savoir s'il existait un formalisme plus simple.

En fait ce serait comme modéliser une courbure qui n'aurait pas d'influence sur les trajectoires, donc des géodésiques n'ayant d'autre influence que d'être perçues.

En RG : un corps massif va suivre une géodésique qui va par exemple courber sa trajectoire.

Ici : un corps va avoir une trajectoire droite, percevoir la courbure, mais sa trajectoire n'en sera pas affectée. Comme si en RG les objets ne suivaient pas les géodésiques mais étaient tout de même accélérés par celle-ci. Donc si je passais au voisinage d'une planète, il y aurait une zone ou je subirais les effets de contractions des longueurs/dilatations du temps dû à son champ gravitationnel (ici température) mais sans suivre les géodésiques.

Ca existe ou il faut forcément passer par le formalisme Riemannien sans poser de conditions sur l'énergie impulsion ?

[Amanuensis]

Oui mais une fois déterminé un champ de température l'espace est modifié.(...)
Ca existe ou il faut forcément passer par le formalisme Riemannien sans poser de conditions sur l'énergie impulsion ?

Amphigouri, de mon point de vue.

[invite9f80122c]

Amphigouri, de mon point de vue.

Mais non ...

Imaginez une piste de skateboard, en plus de la courbure de la piste et du fait d'être penché quand on est en pente, on subit un effet relativiste équivalent à celui subit en RG.

MAIS, contrairement à la RG où la pente de la piste va avoir tendance modifier ta trajectoire, ici on se dirige tout droit.

Un peu comme si on était animé d'une vitesse assez grande pour que l'influence des géodésique soit négligeable sur la trajectoire (ici on le suppose nul c'est la particularité de ma question). Il y aura un effet de contraction des longueurs/dilatation du temps que je voudrais isoler.

Donc : géodésiques avec modification des trajectoires nulle mais effet relativiste existant.

Je sais que ça ne parait pas clair, mais imaginez une chauve souris intelligente, elle va à l'aide de ses ultra sons et de son 'radar' déterminer la meilleure trajectoire à suivre et la suivre. Et par la même occasion percevoir l'espace où elle se trouve (température, feuillage, etc.), ça c'est comme en RG.

Maintenant une chauve souris idiote, elle va déterminer la nature de l'espace autour d'elle mais ne va pas en tenir compte. Elle va cependant percevoir l'espace où elle se trouve (et se prendre un arbre au passage, mais ça n'est pas la question ). Ca cest ce que j'aimerais décrire.