somme d'une série avec factorielles

**zoonel** · 14/07/2011, 13h05

Bonjour,
J'aimerais connaître la valeur de la somme suivante:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Mes cours d'analyse sont loin derrière moi, et de toutes façons j'étais mauvais. Si vous pouviez me dire si il est possible de calculer une telle somme et comment, ce serait sympa. Merci.

invite899aa2b3 · 14/07/2011, 14h55

Bonjour,
as-tu essayé des dérivées de la série entière $\text{[math]}$ ? Par exemple, la formule qui donne $\text{[math]}$ en dérivant $\text{[math]}$ la formule précédente peut aider.

**Tiky** · 14/07/2011, 15h06

Bonjour,

Oui c'est tout à fait possible. L'idée est d'utiliser l'inversion intégrale-somme.
Soit $\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$

Si on effectue cette opération A+B fois de suite, on obtiens $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ est la A+B i-ème dérivée de $\text{[math]}$

Tu utilises la formule de Leibniz pour calculer cette dérivée.
Posons $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$
Et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

Finalement $\text{[math]}$

**zoonel** · 14/07/2011, 17h08

Génial, merci beaucoup

, je n'aurais pas trouvé ça tout seul. J'avais bien lu quelques trucs sur les séries entières mais de la a comprendre et appliquer ces notions …
La c'est bon, j'ai compris toutes les étapes, je reviendrai lorsque j'aurai affaire à des sommes doubles

.

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