Équation différentielle

[invite979fcc20]

salut tout le monde

quel est la solution de cette équation différentielle :


y"*y² = G

ou G est une constante

Merci d'avance
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[Tiky]

Bonjour,
Je ne pense pas que tu puisses trouver des solutions analytiques.

[invite7c37b5cb]

Bonjour Formule1.

y"*y²=k;
Je note y'=dy/dx=p; y"=d²y/dx²=(dp/dy)*(dy/dx)=(dp/dy)*p,

alors p*(dp/dy)*y²=k, p*dp=k*dy/y² (une équation séparable)...

[mc222]

Salut, ce ne serai pas pour trouver le mouvement d'un objet dans le champs gravitationnelle d'un attracteur ta petite équa diff ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite979fcc20]

mc22 c'est exactement sa alors

es que tu as la réponse ??

merci

[mc222]

Ok,

Donc tout dépend de ce que tu cherche.

Déja, ton objet a t'il une vitesse initiale ?

Cette vitesse initiale est elle dirigée vers l'astre ?

Si c'est ca:

Il y a longtemps, avec d'autre, on avait calculé le temps que mettrai un objet pour rejoindre le centre d'un attracteur si il est initialement à une distance et qu'il n'a pas de vitesse initiale.

L'expression de ce temps est très simple mais assez surprenante, et très compliquée à démontrer, mais je me rappel comment faire je crois.

Enfait, analytiquement tu peux calculer pour toute position le temps qu'il faut attendre mais tu ne peut pas calculer pour tout temps, la position correspondante.

[invite979fcc20]

Alors personne na de solution analytique ??

[invite7c37b5cb]

Bonjour Formule1.

y"*y²=k;
Je note y'=dy/dx=p; y"=d²y/dx²=(dp/dy)*(dy/dx)=(dp/dy)*p,

alors p*(dp/dy)*y²=k, p*dp=k*dy/y² (une équation séparable)...

La réponce

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt[y%2F%28cy-k%29]

=x+c1

[invite7c37b5cb]

Bonjour Formule1.

y"*y²=k;
Je note y'=dy/dx=p; y"=d²y/dx²=(dp/dy)*(dy/dx)=(dp/dy)*p,

alors p*(dp/dy)*y²=k, p*dp=k*dy/y² (une équation séparable)...

int sqrt[y/(cy-k)]=sqrt2*x+c1

reponce: sur wolphramalpha

[mc222]

Salut, je te transmets un developpement pour trouver le temps jusqu' à ce que l'objet atteinge le centre de l'attracteur.

Si tu veux le temps pour toute position, il suffit de ne changer la borne supérieur de la dernière intégrale.

Au lieu d'intégrer jusqu'à u(0), tu intègre jusqu'à u(r), avec r : queconque et tu obtiens la réciproque de la fonction que tu cherche depuis le début.

[mc222]

Ca serai bien qu'elle soit validée ma ptite pièce jointe !

[invite979fcc20]

Merci pour vos réponse et mc222 j’attends que ta pièce soit validé

mai en attendant es se que cette fonction est la réponse :

f(x)= a(X₀ /a - t)^2/3

a= (9G/2)^1/3

X₀ est la position initiale.

[mc222]

Salut, non ta réponse n'est à mon avis pas bonne.

Tu peux toujour vérifier, tu la dérive deux fois de suite et tu regarde si tu obtient bien quelque chose de proportionnel à l'inverse du carré de ta fonction.

La solution est de la forme:



Avec



Ce qui peut se démontrer.

[invite979fcc20]

heu la seconde dérive de ta fonction est égale a zéro alors sa colle pas

enfaite j'avais fait une petite erreur voila la bonne réponse

y=a(C - t)^2/3

a(-9/2G)^1/3
C=(X₀/a)^3/2

G est strictement négative

regarde le démonstration (si je ne me suis pas trompé ^^) :

nous avons

y'(x) = -2/3a(C - t)^-1/3

y"(x) = -2/9a(C - t)^-4/3

donc
Y"(x)*y²(x)=(-2/9a(C - t)^-4/3)*a²(C - t)^4/3

et donc

Y"(x)*y²(x)=-2/9a³

donc
G=-2/9a³

donc
a=(-9/2G)^1/3

OU G est negative


après on a quand t=0 y=X₀

donc
X₀=a*(C)^2/3

et donc
C=(X₀/a)^3/2

Alors ou es que je me suis trompé ??

[mc222]

ok, donc d'après ton modèle, le temps pour que l'objet ait atteint un y de 0 est égal à :



Or, d'après la démonstration que je t'ai écrit et qui n'a pas l'air de se faire valider, c'est :



On est manifestement en désaccord, bien que ta solution a l'air de réponde à l'équa diff.

Mais je pense que toutes les conditions ne sont pas contenues dans l'équadiff, j'ai écarté une solution aucours du développement, peut être que ca expliquerai cela...

PS : CA SERAI VRAIMENT BIEN SI MA PIECE JOINTE POUVAIT ETRE VALIDEE SVP.

[invite979fcc20]

c bon avec mc222 on a trouver la réponse

Merci a vous