grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

[GrisBleu]

Bonjour

J'ai la situation suivante:
+ f et g sont deux fonctions de R x R dans R, C1 et définies sur un domaine D
+ {f,g} = 0, c'est à dire . On peut voir cela comme det (grad f, grad g) = 0

Je me demande si, sous des conditions plus strictes sur f, g et D je peux conclure f=h(g) où h: R --> R
Par exemple
+ si je suppose les lignes de niveaux de f (les lignes où f prend la même valeur) et de g sont simplement connexe, alors la ligne de niveaux f^{-1}(u) est d'un seul tenant et correspond à une ligne à niveau g^{-1}(v) (car les gradients sont colinéaire: une ligne à niveau de f est une ligne à niveau de g) elle même d'un seul tenant. Et donc, avec u=h(v), on a f=h(g) sur cette ligne. On généralise ensuite sur sur toutes les lignes.
J'ai pris l’hypothèse de simple connexité pour éviter que les lignes de f (par exemple) soit en 2 morceaux (je ne pourrais plus definir h car il y aurait 2 valeurs de u pour une meme valeur de v)
Voyez vous des problèmes avec cette "démo à la main" et si je n'oublie pas d'hypothèses ?

A bientôt
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[invited749d0b6]

Bonjour,

Si pour tout , c'est faux.
Il faut rajouter en , et alors ce doit être vrai au voisinage de (a,b).

[invite307c5052]

Bonjour,
une condition nécessaire d'existence de h est :
g est constante sur les lignes de niveaux de f!
nous supposerons donc cette condition réalisée!
pour éviter une trop grande longueur et technicité nous supposerons que f est définie sur un ouvert connexe U de R².
Alors J=f(U) est un intervalle de R
l application h si elle existe est définie de façon unique sur l intervalle J:
soit z€J,alors il existe (x,y) dans U tel que z=f(x,y), on pose alors h(z)=g(x,y)
comme g est constante sur les lignes de niveaux de f,h(z) est indépendant du choix de (x,y)
tout le problème revient à savoir si h est continue!
et là il te faudra des hypothèses plus fortes sur la topologie du graphe de f ( sinon tu risques d'avoir à utiliser la théorie des noeuds en dimension3!) où tu devras faire des hypothèses plus fortes sur la régularité de f et de g! par exemple supposer f et g holomorphes sur U!
En attendant nous allons utiliser le théorème des fonctions implicites qui sous des hypothèses restrictives que nous ferons sur f nous permettra d'écrire localement:
soit z0 € J, soit (x0,y0) € U tel que f(x0,y0) = z0
f(x,y)=z ssi y=p(x,z) avec p continue sur un voisinage de (x0,z0)
alors on aura h(z) = g( x , p(x,z) )
et c 'est là que la géometrie du graphe de f va intervenir car il faudra passer de la ligne de niveau f(x,y)=z0 à la ligne de niveau f(x,y)=z quitte à créer une homotopie locale entre ces deux courbes! mais là cela nous entrainerait trop loin!

[invite307c5052]

voici donc comment tu peux t en sortir sans grosse machinerie! tu vas supposer que grad f ne s 'annule pas sur U et qu'ainsi f sera localement une submersion! fixons (x0,y0) dans U. Alors il va exister un difféomorphisme C1 sur un voisinage de (x0,y0) tel que f se ramène à une projection sur le 1er axe de coordonneés! voici donc la construction qui va assurer la continuité de h:
dans toute la suite on fixe (x0,y0) dans U.
soit Q le diffeomorphisme local C1 défini sur un voisinage de (x0,y0)
Q(x,y) = ( f(x,y) , s(x,y) ) où s est une fonction C1
la bijection réciproque Q-1 s'écrit alors:
Q-1(u,v)=( a(u,v) , b(u,v) )
posons alors v0=s(x0,y0)
soit z € J,on pose alors h(z) = g( a(z,v0) , b(z,v0) )

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

en , et alors ce doit être vrai au voisinage de (a,b).

Salut
Effectivement, ca doit etre necessaire que les gradients ne soients pas nuls pour conclure qque chose de |grad f, grad g| = 0

[GrisBleu]

Bonjour,
une condition nécessaire d'existence de h est :
g est constante sur les lignes de niveaux de f

C'est bien pour ca que jai supposer les lignes de niveau d'un seul tenant

Pour la suite, si a chaque pointj'ai f=h(g) avec f et g C1, j'ai bien envie de dire h continue (comme ma question vient d'un probleme physique, si il faut supposer f et g holomorphe sur le domaine D, allons y)

Merci pour ton temps

[invite307c5052]

Bonjour,
Si grad f est non nul, avec la 2ème étude que j'ai écrite h sera automatiquement C1! sans aucune hypothèse supplémentaire de régularité sur f ou sur la non nullité de grad g!grâce au théorème d'inversion locale que j'ai utilisé pour définir s(x,y)!! tu n'as pas besoin non plus d'hypothèses topologiques sur le graphe de f comme une simple connexité! je n 'avais pas vu tout cela lors de ma 1ère réponse car je n'avais pensé qu'après au th d'inversion locale!
Cordialement.

[GrisBleu]

Salut

Je suis d'accord localement, mais globalement, je vais avoir des problemes sans hypothese sur le graphe de f non ?
a bientot

[invite307c5052]

Bonsoir, ce qui est remarquable,c 'est qu'il n'y aura aucun problème! en effet d'une part h est déterminée de façon unique sur l 'intervalle J image de l'ouvert connexe U!d'autre part le fait d'être de classe C1 est une notion locale!!
Nous avons donc la proposition suivante:
soit U un ouvert connexe non vide de R²
soient f et g deux fonctions de classe C1 sur U
on suppose que grad f ne s'annule pas sur U
on suppose que g est constante sur les lignes de niveaux de f (**)
alors en posant J=f(U) qui est alors un intervalle
il existe une fonction h de J dans R telle que g=hof
de plus h est unique et est de classe C1 sur J

[invite307c5052]

cela dit le problème est ailleurs:en supposant la régularité de grad f sur U, h existe ssi g est constante sur les lignes de niveaux de f! or cette dernière condition est de nature globale tout comme l 'existence de h!
et l 'hypothèse {f,g} =0 est de nature locale! donc il y aura parfois ce que l'on appelle une obstruction! qui dépendra de la topologie du graphe de f! obstruction que tu pourras lever:
soit en supposant g constante sur les lignes de niveaux de f
soit en supposant f et g holomorphes