grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?
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grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?



  1. #1
    GrisBleu

    grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?


    ------

    Bonjour

    J'ai la situation suivante:
    + f et g sont deux fonctions de R x R dans R, C1 et définies sur un domaine D
    + {f,g} = 0, c'est à dire . On peut voir cela comme det (grad f, grad g) = 0

    Je me demande si, sous des conditions plus strictes sur f, g et D je peux conclure f=h(g) où h: R --> R
    Par exemple
    + si je suppose les lignes de niveaux de f (les lignes où f prend la même valeur) et de g sont simplement connexe, alors la ligne de niveaux f^{-1}(u) est d'un seul tenant et correspond à une ligne à niveau g^{-1}(v) (car les gradients sont colinéaire: une ligne à niveau de f est une ligne à niveau de g) elle même d'un seul tenant. Et donc, avec u=h(v), on a f=h(g) sur cette ligne. On généralise ensuite sur sur toutes les lignes.
    J'ai pris l’hypothèse de simple connexité pour éviter que les lignes de f (par exemple) soit en 2 morceaux (je ne pourrais plus definir h car il y aurait 2 valeurs de u pour une meme valeur de v)
    Voyez vous des problèmes avec cette "démo à la main" et si je n'oublie pas d'hypothèses ?

    A bientôt

    -----

  2. #2
    invited749d0b6

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    Bonjour,

    Si pour tout , c'est faux.
    Il faut rajouter en , et alors ce doit être vrai au voisinage de (a,b).

  3. #3
    invite307c5052

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    Bonjour,
    une condition nécessaire d'existence de h est :
    g est constante sur les lignes de niveaux de f!
    nous supposerons donc cette condition réalisée!
    pour éviter une trop grande longueur et technicité nous supposerons que f est définie sur un ouvert connexe U de R².
    Alors J=f(U) est un intervalle de R
    l application h si elle existe est définie de façon unique sur l intervalle J:
    soit z€J,alors il existe (x,y) dans U tel que z=f(x,y), on pose alors h(z)=g(x,y)
    comme g est constante sur les lignes de niveaux de f,h(z) est indépendant du choix de (x,y)
    tout le problème revient à savoir si h est continue!
    et là il te faudra des hypothèses plus fortes sur la topologie du graphe de f ( sinon tu risques d'avoir à utiliser la théorie des noeuds en dimension3!) où tu devras faire des hypothèses plus fortes sur la régularité de f et de g! par exemple supposer f et g holomorphes sur U!
    En attendant nous allons utiliser le théorème des fonctions implicites qui sous des hypothèses restrictives que nous ferons sur f nous permettra d'écrire localement:
    soit z0 € J, soit (x0,y0) € U tel que f(x0,y0) = z0
    f(x,y)=z ssi y=p(x,z) avec p continue sur un voisinage de (x0,z0)
    alors on aura h(z) = g( x , p(x,z) )
    et c 'est là que la géometrie du graphe de f va intervenir car il faudra passer de la ligne de niveau f(x,y)=z0 à la ligne de niveau f(x,y)=z quitte à créer une homotopie locale entre ces deux courbes! mais là cela nous entrainerait trop loin!

  4. #4
    invite307c5052

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    voici donc comment tu peux t en sortir sans grosse machinerie! tu vas supposer que grad f ne s 'annule pas sur U et qu'ainsi f sera localement une submersion! fixons (x0,y0) dans U. Alors il va exister un difféomorphisme C1 sur un voisinage de (x0,y0) tel que f se ramène à une projection sur le 1er axe de coordonneés! voici donc la construction qui va assurer la continuité de h:
    dans toute la suite on fixe (x0,y0) dans U.
    soit Q le diffeomorphisme local C1 défini sur un voisinage de (x0,y0)
    Q(x,y) = ( f(x,y) , s(x,y) ) où s est une fonction C1
    la bijection réciproque Q-1 s'écrit alors:
    Q-1(u,v)=( a(u,v) , b(u,v) )
    posons alors v0=s(x0,y0)
    soit z € J,on pose alors h(z) = g( a(z,v0) , b(z,v0) )

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    GrisBleu

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    en , et alors ce doit être vrai au voisinage de (a,b).
    Salut
    Effectivement, ca doit etre necessaire que les gradients ne soients pas nuls pour conclure qque chose de |grad f, grad g| = 0

  7. #6
    GrisBleu

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    Citation Envoyé par serge1729 Voir le message
    Bonjour,
    une condition nécessaire d'existence de h est :
    g est constante sur les lignes de niveaux de f
    C'est bien pour ca que jai supposer les lignes de niveau d'un seul tenant

    Pour la suite, si a chaque pointj'ai f=h(g) avec f et g C1, j'ai bien envie de dire h continue (comme ma question vient d'un probleme physique, si il faut supposer f et g holomorphe sur le domaine D, allons y)

    Merci pour ton temps

  8. #7
    invite307c5052

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    Bonjour,
    Si grad f est non nul, avec la 2ème étude que j'ai écrite h sera automatiquement C1! sans aucune hypothèse supplémentaire de régularité sur f ou sur la non nullité de grad g!grâce au théorème d'inversion locale que j'ai utilisé pour définir s(x,y)!! tu n'as pas besoin non plus d'hypothèses topologiques sur le graphe de f comme une simple connexité! je n 'avais pas vu tout cela lors de ma 1ère réponse car je n'avais pensé qu'après au th d'inversion locale!
    Cordialement.

  9. #8
    GrisBleu

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    Salut

    Je suis d'accord localement, mais globalement, je vais avoir des problemes sans hypothese sur le graphe de f non ?
    a bientot

  10. #9
    invite307c5052

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    Bonsoir, ce qui est remarquable,c 'est qu'il n'y aura aucun problème! en effet d'une part h est déterminée de façon unique sur l 'intervalle J image de l'ouvert connexe U!d'autre part le fait d'être de classe C1 est une notion locale!!
    Nous avons donc la proposition suivante:
    soit U un ouvert connexe non vide de R²
    soient f et g deux fonctions de classe C1 sur U
    on suppose que grad f ne s'annule pas sur U
    on suppose que g est constante sur les lignes de niveaux de f (**)
    alors en posant J=f(U) qui est alors un intervalle
    il existe une fonction h de J dans R telle que g=hof
    de plus h est unique et est de classe C1 sur J

  11. #10
    invite307c5052

    Re : grad f et grad g proportionnels implique t il f=h(g) ?

    cela dit le problème est ailleurs:en supposant la régularité de grad f sur U, h existe ssi g est constante sur les lignes de niveaux de f! or cette dernière condition est de nature globale tout comme l 'existence de h!
    et l 'hypothèse {f,g} =0 est de nature locale! donc il y aura parfois ce que l'on appelle une obstruction! qui dépendra de la topologie du graphe de f! obstruction que tu pourras lever:
    soit en supposant g constante sur les lignes de niveaux de f
    soit en supposant f et g holomorphes

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