Intégrale Double

[inviteb9b40e99]

Bonjour,

Graphiquement, que représente exactement une intégrale double de la forme :



L'aire de la surface f(x,y) délimitée par des x et y précis ? Ou le volume entre la surface f(x,y) et le plan z=0 délimité par des x et y précis ? (un peu comme une intégrale simple mais cette fois avec un volume)

Merci.
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[invitea29b3af3]

Salut

C'est le volume. Si tu as compris pourquoi une intégrale simple te donne une aire, alors tu comprends pourquoi une intégrale double te donne un volume.

Dans une intégrale simple, on a par exemple . Si tu imagines la chose numériquement, dx est infinitésimalement petit, mais disons que dx = 0.01, alors cette intégrale est une somme de valeurs f(0), f(0.01), f(0.02), ...., f(4.98), f(4.99), f(5), chacune multipliée par dx=0.01, c'est à dire: . Autrement dit c'est une somme d'aire de rectangle de hauteur f(x) et de largeur dx=0.01. Donc ça approxime l'aire sous la courbe. Maintenant si tu fais tendre dx vers 0, alors tes rectangles deviennent de plus en plus fins (et de plus en plus nombreux) et tu finis par obtenir l'aire exacte.

Donc pour une intégrale double c'est pareil. Tu multiplies une hauteur, dont la valeur est donné par f(x,y), avec une longueur (dx) et une largeur (dy), donc tu as un volume.

[inviteb9b40e99]

D'accord merci pour la réponse.

J'ai vu qu'il y a aussi les intégrales surfaciques qui sont des intégrales doubles. Pourquoi celles-là représentent une aire ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je ne suis pas sûr qu'il y ait une relation directe entre intégrale simple <==> aire et intégrale double <==> volume.
Une intégrale est la somme d'éléments infiniment petits.
La longueur d'une courbe peut être calculée avec une intégrale simple, de même qu'un volume.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb9b40e99]

Bonjour,

Oui, mais dans le cas d'une intégrale de la forme :



C'est forcément un volume alors ?