integrale double

[invite3697984f]

Expliquer pourquoi dans la formule

int(int(A) f(x,y) d(x,y)) = int(int(B) f(g(u,v) [det g'(u,v)] d(u,v)

apparaît le terme [det g'(u,v)] où [] est la valeur absolue et int(int(A)) est l'intégrale double

merci pour vos réponses, je les attends avec impatience ......
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[KerLannais]

Salut,

La démonstration n'est pas simple je vais essayer de te donner une intuition du résultat. Imagine le plan dans lequel tu trace un quadrillage régulier assez fin. Sur un petit carré, les valeurs de f ne varient pas beaucoup et tu peut en choisir une. Tu peut approximer l'ensemble sur lequel tu intègre f par un ensemble de petit carrés. L'intégrale de f c'est alors simplement la somme pour chaque carré de l'ensemble d'intégration de la valeur de f sur le petit carré multipliée par l'aire du petit carré. Dans le cas d'un maillage régulier l'aire des petits carrés est toujours la même. Maintenant tu suppose que tu applique la transformation g^(-1) à ton plan (tu passe du plan où les coordonnées étaient (x,y) au plan ou les coordonnées sont (u,v)). Ton quadrillage est tout déformé, contracté à certains endroits et enflé à d'autres, un peu comme quand tu t'amuse avec un logiciel de retouche d'image. A chaque petit carré non déformé correspond un petit carré déformé. Le domaine d'intégration B est alors l'ensemble des petits carrés déformés correspondant à l'ensemble des carrés de A car c'est l'image de A par g^(-1). Bien entendu la valeur de f(g(.,.)) sur un petit carré déformé correspond à la valeur de f(.,.) sur le petit carré non déformé correspondant. Ce qui change c'est que l'aire des petits carrés déformés n'est pas égale (à priori) à l'aire du petit carré non déformé correspondant. En fait le rapport de l'aire du petit carré non déformé sur le petit carré déformé correspondant est environ égal (égal à la limite quand la taille des petits carrés tend vers 0) à [det(g'(u,v))]. Ceci suffit à expliquer la formule puisque d(x,y) c'est l'aire du petit carré non déformé, on a "d(x,y)=[det(g'(u,v))]d(u,v)" et tu vois que à gauche et à droite tu fait exactement la même somme au final. Maintenant, pourquoi le rapport des aires avant et après déformation est donné par [det(g'(u,v))] ? Intuitivement cela doit être un nombre positif (d'où la valeur absolue) et comme g est régulière, au voisinage de (u,v) g est bien approchée par sa différentielle g' au sens où
g(u,v)"="g(u0,v0)+g'(u0,v0).(u-u0,v-v0)
c'est à dire que grosso modo, si (u0,v0) est le coin d'un petit carré déformé, alors g(u_0,v_0) est le coin du petit carré non déformé et le petit carré non déformé dans le plan centré en g(u0,v0) se déduit du petit carré déformé dans le plan centré en (u0,v0) par l'application de g' qui est une transformation linéaire du plan. Il faut donc répondre à la question, comment varient les aires de figures du plan qui subissent une transformation linéaire (homothétie, rotation, affinité,...)
je te propose de faire l'exo suivant:
Soit la transformation linéaire du plan définie par la matrice
a b
c d
c'est à dire que l'image du point de coordonnées (x,y) est le point de coordonnées (ax+by,cx+dy),
pends valeurs numériques de ton choix pour a b c et d dans un premier temps
montre que
1- l'image du carré [0,1]² (les points de coordonnées (x,y) tels que 0<=x<=1 et 0<=y<=1) est un parallélogramme
2-l'aire de ce parallélogramme est [ad-bc]=[det A]
tu peux essayer avec plusieurs valeurs de a,b,c et d puis essayer une démonstration générale.