Simplifier une somme

[invite4cd74d23]

Salut :
je dois simplifer la somme :
n
∑ ij
1≤i<j≤n

alors :

elle est égale à : 1*2+1*3+...+1*n+2*3+2*4+..+2*n +....+(n-1)n

alors cela equivaut à :
n-1 n
∑ (i∑ j)
i=1 j=i+1


est ce correct ?
-----

[Tiky]

Bonjour,

Oui c'est correct mais tu aurais pu le mettre dans ton fil précédent plutôt que faire une sorte de doublon.

Maintenant il suffit d'utiliser le fait que

[invite4cd74d23]

oui

n-1 n n-1
∑ (i∑ j) = ∑ (i * (i+1+n)(n-1)/2))
i=1 j=i+1 i=1

comment le plus simplifier ?

[invite9617f995]

Bonjour,

Tu devrais plutôt essayer le Latex pour faire tes sommes parce que là c'est pas facile à lire ! De plus, fais gaffe dans ta somme c'est i(i+1+n)(n-i)/2 et non i(i+1+n)(n-1)/2.

Sinon, pour ton calcul, une manière bourrine est de développer l'expression i(i+1+n)(n-i)/2 et de te ramener aux sommes des i³, des i² et des i, que soit tu supposes connues soit tu recalcules ensuite.

Silk


PS : une technique plus élégante (mais pas obligatoirement plus rapide) serait de chercher un polynôme P de degré 4 tel que P(X+1)-P(X)=X(n+1+X)(n-X) et de conclure par téléscopage.
A vu de pif, on doit avoir moyen de trouver P sous la forme P(X)=X⁴+aX³+bX² avec a et b des constantes à déterminer.
Après si tu souhaites utiliser une technique comme ça, ça serait quand même carrément plus cohérent que tu prouves que ce polynôme existe et qu'il peut se mettre sous cette forme là.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4cd74d23]

J'ai pas compris ta 2eme technique, c'est quoi la relation entre P(X+1)-P(X) est la somme que je cherche ?

[invite9617f995]

Imagine que tu ais un polynôme P tel que P(X+1)-P(X)=X(n+1+X)(n-X). Je nomme S la somme que tu cherches à calculer. Tu peux reformuler ta somme comme :



La dernière expression se calcule par le principe du télescopage. Est-ce que tu as déjà utiliser ce principe ?

Silk

[invite4cd74d23]

Wi dans les suites téléscopiques
Donc ça va etre égales à :
n-1
1/2 ∑ P(n)-P(1)
i=1

mais parquoi je vais remplacer p(n) et P(1)

[invite4cd74d23]

ah wi on en utilisant
P(X)=X4+aX3+bX² après détérmination des constantes
mais comment les détérminer
j'ai P(1) = 1+a+b
et P(n) = n^4 + a*n^3+b*n²
en total on aura

1/2*(n^4+a*n^3+3*n² - 1 - a -b)

a et b ??

[Tiky]

Tu dois calculer . Tu peux supposer que .
L'équation te donnera un système linéaire à résoudre. Remarque que P dépend de n sans surprise.

Une méthode pour déterminer rapidement les valeurs a, b et c est d'évaluer la relation en quatre points. Les points 1 et -1 sont pratiques.

[invite9617f995]

Bon en fait, je crois que je me suis trompé, tu dois plutôt prendre P(X) de la forme X⁴+aX³+bX²+cX (tu dois prendre un terme de degré 1). Mais le principe reste bon.

Pour trouver a, b et c, t'as un peu de calcul : il faut partir de P(X)=X⁴+aX³+bX²+cX et développer l'expression de P(X+1) par le binôme de Newton.
Ensuite, tu réarranges l'expression de P(X+1)-P(X), tu développes celle de X(n+1+X)(n-X) et tu dis que les deux sont égaux en identifiant les coefficients de même degré.
Tu trouves alors un système d'équation sur a, b et c que tu résous.

Après comme je l'ai dit, si tu fais ça le mieux serait de prouver que ce polynôme existe et qu'il est de cette forme.

Silk

Edit : grillé par Tiky

[invite9617f995]

Hmm, désolé pour le double post mais y a encore un problème, il faut aussi mettre un coefficient devant le X⁴, sinon on obtient pas le bon terme de degré 3.

[invite4cd74d23]

Rappelez moi le formule de binôme de Newton. svp

[invite4cd74d23]

j'ai trouvé ce ,système :

4a = -1
4a+3b=-1
3b+2c=n²

a=-1/4 ; b=0 ; c= n²/2

C'est correct ?

[invite4cd74d23]

?????? Aucune réponse

[invite9617f995]

Comme je l'ai dit dans mon dernier message il faut un coefficient devant le X^4, or tu n'as que a, b et c : il te faudrait logiquement un d.
As-tu vérifier le calcul (en calculant P(X+1)-P(X) par exemple) ?

[invite4cd74d23]

Wi voilà ce que j'ai fais :
P(x+1) = a(x+1)^4 + b(x+1)^3 + c(x+1)² + dx
= a*(x^4+4x^3+4x²+1)+b(x^3+3x²+3 x+1)+c(x²+2x+1)+dx
p(x+1)-P(x) = a*(x^4+4x^3+4x²+1)+b(x^3+3x²+3 x+1)+c(x²+2x+1)+dx -ax^4-bx^3-cx²-dx
le d s'en va..
En fin an aura :
4ax^3 + x²(4a+3b)+x(3b+2c)+a+b+c = x(n+1+x)(n-x) = -x^3-x²-xn²

on obtient ce système
4a=-1
4a+3b=-1
3b+2c=n²
a+b+c = 0

d'ou
a=-1/4 ; b=0 ; c= n²/2 n=Racine carré (1/2)

[invite9617f995]

Il y a trois fautes :

Premièrement tu as oublié un 1 dans le terme de degré 1 de P(X+1) :
tu n'as pas seulement dX mais d(X+1) et donc le d ne s'en va pas totalement.

Deuxièmement dans ton binôme de Newton pour (X+1)⁴, on a :
(X+1)⁴=X⁴+4X³+6X²+4X+1.

Troisièmement dans ton développement de x(n+1+x)(n-x), on a :
x(n+1+x)(n-x)=x(n+x)(n-x)+x(n-x)=x(n²-x²)+nx-x²=-x³-x²+(n²+n)x

Silk

[Elie520]

J'espère ne pas etre a coté du sujet puisque j'ai vu des polynomes sur la fin... mais sinon pour la question de départ, tu peux partir comme suit :



J'espère avoir aidé, cette méthode me parait assez simple.
Cordialement.
Elie520

[invite9617f995]

J'espère ne pas etre a coté du sujet puisque j'ai vu des polynomes sur la fin... mais sinon pour la question de départ, tu peux partir comme suit :

Damn it, c'est beau

Effectivement, la technique est bien plus simple et plus élégante, et j'ai vérifié, on retrouve bien le même résultat (ce qui en soit est plutôt normal en même temps ^^) : bien joué

Silk

[invite33a0e132]

Normalement on doit démarrer i par 1 et j par 2 et non par 1
Svp ça veut dire quoi La somme de la somme comment on peut le traduire mathématiquement en exemples ?

[Elie520]

En fait, tu peux remarquer que le terme de la suite est "i*j" qui est symétrique, je veux dire que tu peux remplacer i par j et j par i. donc Donc

D'où :

Et donc

Voila

[invite4cd74d23]

Comment on peut déduire que cette somme :
1*2+1*3+...+1*n+2*3+2*4+...... +(n-1)*n
est égale à ça directement :
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><munderover><mo> &Sum;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>&#x3d;</mo><mn>2</mn></mrow><mi mathcolor='#c800c8'>n</mi></munderover><munderover><mo>&Su m;</mo><mrow><mi mathcolor='#c800c8'>i</mi><mo>&#x3d;</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathcolor='#c800c8'>n</mi><mo>&minus;</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mi>i</mi><mo>&sdot;</mo><mi>j</mi></mrow></math>

[invite4cd74d23]

dsl pour le dernier post :
Comment on peut déduire que cette somme :
1*2+1*3+...+1*n+2*3+2*4+...... +(n-1)*n
est égale à ça directement :

[invite4cd74d23]

explique moi d'avantage ta méthode Elie520
Je comprends pas comment on peut faire directement que c'est la somme de lasomme

[invite4cd74d23]

Voilà ce que j'ai trouvé dans maple :



??