trouver rapidement le DL de tan

[invite67f80e10]

Bonjour,

j'espère que vous passez de bonne vacances, sauf ceux qui n'y sont pas.

j'aimerai que l'on me communique un manière rapide de trouver le DL de tan(x) sans passer par le rapport sin(x)/cos(x). merci beaucoup
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[big_bursty]

A confirmer mais je crois qu'il faut partir de l'équivalent en 0 tan(x)~x, d'où tan(x)=x+o(x).

Puis tan'(x)=1+tan²(x) => tan'(x)=1+x²+o(x²).
En intégrant: tan(x)=x+(x^3)/3+o(x^3).

Ensuite tu recommences pour les termes suivant.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Si c'est la formule, la voici
tan x=x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + 62x^9/2835 + ...
Si c'est la démonstration, je ne sais pas.

[invite371ae0af]

je pense que passer par le rapport est plus facile
la fonction tangente est impaire donc que des puissances impaires dans le DL
tu aurai donc tanx=ax+bx^3+cx^5
puis tu identifies a,b et c grâce au rapport

[A voir en vidéo sur Futura]

[Elie520]

Moi personnellement j'utilise plutôt un mix entre la technique de 369 et big_bursty :

Si je veux l'ordre 7, jécris tan(x)=ax+bx^3+cx^5+dx^7 +o(x^8) (par imparité) et je remplace dans l'équation (tan)'(x)=1+tan²(x).

Ca te fais, pour l'ordre 2n-1, un systeme super simple de n équations a résoudre. mais dans tous les cas tu auras un tel systeme.

[invite67f80e10]

Merci pour toutes vos réponses vous êtes tous des génies (je n'avais pensé à aucune de ces méthodes)

[invite307c5052]

Bonsoir,
il existe une méthode théorique qui s'applique précisément à la fonction tan pour trouver son DL voire son développement en série entière!
les coefficients s'expriment en fonction des nombres de Bernouilli Bn
les nombres Bn sont définis par: pour x€ ]-2pi,2pi[
x/((exp x) - 1) = série de terme général Bn (x^n)/n!
il y a prolongement par continuité à l'origine!
on écrit tan 2x =2tan x/(1-tan²x)
puis on inverse d'où l'on tire: cotan 2x =(1-tan²x)/2tan x
soit 2cotan 2x = (cotan x) -tan x
donc tan x = cotan x - 2 cotan (2x)
il ne reste plus qu'à trouver le développement de cotan x
i*cotan x = i*cos x /sin x = [exp(-ix) +exp(ix)]/ [exp(- ix) -exp(ix)]


=[1+exp(2ix)]/[1-exp(2ix)] =2/[1-exp(2ix)] -1

on multiplie tout par ix puis l'on pose z=2ix on trouve:

-x cotan x = z/(1-exp z) - (z/2)
on remplace z/(1-exp z) par la série de terme général Bn (z^n)/n!
on garde les puissances paires de z et on trouve le résultat!
reste à donner une formule de récurrence des Bn que l'on retrouve par identification!
z=(exp z - 1 )*série des Bn(z^n)/n!

ce qui donnera Bo = 1 puis pour tout n € N*

0=sigma (pour k variant de 0 à n) des [Bk*le coefficient binomial k parmi (n+1)]
par exemple B1 = -1/2 ainsi de suite!