Cardinal de l'ensemble des ultrafiltres

[Seirios]

Bonjour,

Il y a un point que je ne comprends pas dans la preuve 4, page 133, de ce livre. Il s'agit de montrer que sur un ensemble infini X, l'ensemble des ultrafiltres est de cardinal .

Ce qui me pose problème, c'est de montrer que pour tout , une base de filtre, c'est-à-dire qu'il faut montrer que pour tout , il existe tel que .

J'ai voulu commencer par considérer le cas où et (avec ), mais je dois passer à côté de quelque chose, parce que je ne vois l'argument qui permet de conclure...

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance,
Seirios
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[Seirios]

J'ai oublié de mettre le lien hypertexte : http://books.google.fr/books?id=DkEu...ilters&f=false

[am2004]

Bonjour,

Le problème est que ta traduction en formules de la définition de base pour un filtre n'est pas correcte; une base B pour un filtre sur X est un ensemble de parties de X qui a la p.i.f , cad que l'intersection d'un nombre fini d'éléments de B est non vide mais ne contient pas nécessairement un ensemble qui appartient à B . Donc dans le cas présent, tu dois simplement prouver que pour tout ensemble fini P de parties de ,on a est non-vide (en tant que sous-ensemble de ).
Probablement ce qui t'a fait problème est que tu penses à une base pour un filtre donné, alors que, dans le livre cité, les auteurs pensent à un ensemble de parties qui engendre un filtre (le filtre sur X engendré par un ensemble B de parties de X, qui a la pif, est l'ensemble des parties de X qui sont des extensions d'intersection finie d'éléments de B).

Bonjour,

Il y a un point que je ne comprends pas dans la preuve 4, page 133, de ce livre. Il s'agit de montrer que sur un ensemble infini X, l'ensemble des ultrafiltres est de cardinal .

Ce qui me pose problème, c'est de montrer que pour tout , une base de filtre, c'est-à-dire qu'il faut montrer que pour tout , il existe tel que .

J'ai voulu commencer par considérer le cas où et (avec ), mais je dois passer à côté de quelque chose, parce que je ne vois l'argument qui permet de conclure...

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance,
Seirios

[Seirios]

Effectivement, je n'avais visiblement pas la même définition d'une base d'un filtre. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]