racines n-ième

[invite371ae0af]

bonsoir,
en regardant la preuve pour montrer que la somme des racines n-ième de 1, j'ai vu qu'on commencait comme ca:




comment ont-ils fais pour trouver le terme de droite?


merci de votre aide
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[invitefa064e43]

et bien car (somme téléscopique)

[invite371ae0af]

merci de votre réponse

mais pourquoi ont-ils fais ca? Qu'est qui leur a indiqué qu'il fallait multiplier par z-1 pour avoir z^n-1

[invitefa064e43]

si tu relis ton message, tu verras que c'est dur de comprendre de quoi tu parles exactement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

pourquoi multiplie-t-on par z-1?
[IMG]http://www.futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?(z-1)*(1+z+z^2+...+z^{n-1})=z^n%20-%201[/IMG]

[invitefa064e43]

ahh pardon je pensais que tu parlais dans le cadre du théorème que tu mentionnais au début.

Tu demandes en fait comment ils ont eu l'idée de faire ça ?

c'est assez élémentaire comme identité, ça. C'est connu depuis longtemps, et pas très difficile à observer :




conjecture, vérification, preuve (pas compliquée), et puis c'est réglé.

[invite371ae0af]

merci
je tacherais de me souvenir de cette astuce

[invitefa064e43]

oui, elle est très souvent utilisée dans de nombreuses preuves.

tu n'as pas vu les séries géométriques, d'ailleurs?

[invite371ae0af]

qu'appelles-tu séries géométriques?
une série ou on développe les premiers termes et on remarque que c'est une suite géométrique puis on fais la limite?

[invitefa064e43]

oui, tout simplement une somme où les termes sont ceux d'un suite géométrique.

par ex. ici on voit que les termes de la somme suivent une suite géométrique de premier terme 1 et de raison z

donc, grace à l'identité que nous avons vu, la série (somme infinie) converge vers (si z est de valeur absolue plus petite que 1, tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini)

(PS : dans les cas val. abs. de z égale à ou plus grande que 1, la série ne converge pas et c'est facile de le prouver)