Racines n-ième

invite8d54258a · 30/06/2010, 00h21

Bonsoir.
Je cherche à montrer les deux choses suivantes :

l'ensemble des racines n-ièmes d'un nombre complexe a est l'ensemble $\text{[math]}$ .

J'ai fait $\text{[math]}$ .

Je pose $\text{[math]}$ dans ce qui suit. Alors il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Donc finalement
Si je fais la division euclidienne de k par n, je trouve $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

Et je ne vois pas comment poursuivre, pour retrouver exactement ces k éléments.

Et aussi, je cherche à prouver que :

$\text{[math]}$ est un groupe cyclique engendré par les $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : il y en a $\text{[math]}$ .

J'ai vu sur un document d'internet que les groupes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ étaient isomorphe, "on a tous ce qu'on veut". Pouvez-vous m'aidez à préciser l'isomorphisme et la phrase de conclusion ? Merci !

invite7ffe9b6a · 30/06/2010, 00h50

$\text{[math]}$

tels que

$\text{[math]}$

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 01h19

et pour la premiere question: que vaut $\text{[math]}$ ?
et que vaut $\text{[math]}$ avec q entier?

invite8d54258a · 30/06/2010, 01h45

Ok pour la 1 ! Par contre, pour la deuxième question :

pourquoi une telle fonction est-elle bien définie ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite8d54258a · 30/06/2010, 01h52

Je vais essayer de prouver que c'est bien un isomorphisme :

$\text{[math]}$ ;

$\text{[math]}$ ;

Je crois que ceci montre que c'est un morphisme de groupe. J'ai un petit doute !

Pour l'injectivité :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ceci assure l'injectivité !
Et comme les ensembles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont finis (et visiblement de même cardinal !), on a aussi la surjectivité gratuitement.

Ai-je bien montré que c'était un isomorphisme de groupe ?

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 01h54

comme ton topic précédent.

prend deux représentants dans Z/nZ et montre que tu obtiens le même résultat (ça ressemble beaucoup a la question 1).

reste à montrer que c'est bien un morphisme.
Il faudrait d'ailleurs aussi montrer que si tu prend un élément dans Z/nZ, l'image par $\text{[math]}$ est dans $\text{[math]}$ .

tu cherches à montrer que tu as $\text{[math]}$ éléments générateurs dans $\text{[math]}$ ?

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 01h57

Envoyé par Leonhardo

Je vais essayer de prouver que c'est bien un isomorphisme :

$\text{[math]}$ ;

$\text{[math]}$ ;

Je crois que ceci montre que c'est un morphisme de groupe. J'ai un petit doute !

Pour l'injectivité :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ceci assure l'injectivité !
Et comme les ensembles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont finis (et visiblement de même cardinal !), on a aussi la surjectivité gratuitement.

Ai-je bien montré que c'était un isomorphisme de groupe ?

oui pour le début (pour peu que tu montres que c'est bien défini et que tu peux choisir n'importe quel représentant).

ensuite: exp(ia)=exp(ib) n'entraine pas que a=b donc non (même si la conclusion au final est bonne, par chance).

mais la surjectivité est plus simple non?

edit:j'ai corrigé mon message précédent truffés de fautes...

invite8d54258a · 30/06/2010, 01h58

Oui, je cherche à prouver que $\text{[math]}$ est un groupe, cyclique, engendré par les $\text{[math]}$ et qu'il y'en a $\text{[math]}$ .
Au regard de ton dernier message, je ne sais plus trop ce que je dois prouver ! Peux-tu me "lister" cela (je crois en avoir fait une bonne partie dans mon dernier message).

Pour ce qui est de la bonne définition de cette application, si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ . C'est cela qui assure la bonne définition de $\text{[math]}$ ?

invite8d54258a · 30/06/2010, 02h04

Envoyé par SchliesseB

oui pour le début (pour peu que tu montres que c'est bien défini et que tu peux choisir n'importe quel représentant).

ensuite: exp(ia)=exp(ib) n'entraine pas que a=b donc non (même si la conclusion au final est bonne, par chance).

mais la surjectivité est plus simple non?

edit:j'ai corrigé mon message précédent truffés de fautes...

Mais pourquoi donc cette implication est fausse ? Par passage au logarithme, il me semble que c'est bon

Pour la surjectivité, soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ (j'ai pris $\text{[math]}$ dans la formule précédente ! Et donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ )

Alors $\text{[math]}$ ! En effet, plus rapide !

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 02h11

le logarithme pour des complexes? je ne te le conseille pas

d'ailleurs que vaut exp(0)? et exp(2ipi)? c'est vraiment injectif exponentielle pour les complexes?

ensuite tu dois montrer que:
-l'application phi est bien définie (elle va de Z/nZ dans mu n) (on te demande juste de dire: ça se voit...) et de plus, le choix du représentant dans Z/nZ donne le même résultat
-c'est un morphisme de groupe
-bijectif

reste a montrer que ces générateurs sont les exp(ikn)

pour montrer qu'il a phi(n) éléments générateurs, c'est la définition de phi (indicatrice d'euler)

invite8d54258a · 30/06/2010, 02h24

Envoyé par SchliesseB

le logarithme pour des complexes? je ne te le conseille pas

d'ailleurs que vaut exp(0)? et exp(2ipi)? c'est vraiment injectif exponentielle pour les complexes?

Outch, effectivement ! J'ai pensé log et exp dans les réels donc des fonctions réciproques l'une de l'autre !

Envoyé par SchliesseB

ensuite tu dois montrer que:
-l'application phi est bien définie (elle va de Z/nZ dans mu n) (on te demande juste de dire: ça se voit...) et de plus, le choix du représentant dans Z/nZ donne le même résultat
-c'est un morphisme de groupe
-bijectif

(i) Ca se voit ?
(ii) Pour les représentants, j'ai décidément du mal à m'y faire. On demande bien si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ ?
(iii) C'est bien ce que j'ai fait non ? $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?
(iv) Donc on a vu la surjectivé, et comme les ensembles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont finis, c'est la bijectivité ! Faut-il dire qu'ils ont même cardinal ? Ou bien juste surjective et ensembles finis ?

Envoyé par SchliesseB

reste a montrer que ces générateurs sont les exp(ikn)
pour montrer qu'il a phi(n) éléments générateurs, c'est la définition de phi (indicatrice d'euler)

Et comment on fait ? J'ai juste à calculer $\text{[math]}$ ?

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 10h39

(i) ça se voit car l'élément de droite est bien une racine n-ieme de l'unité.

(ii) soit x et y deux représentants d'une même classe ( $\text{[math]}$ )....

(iii) oui!

(iv) oui, mais l'hypothèse même cardinal est très importante!

pour les générateurs:
montre que $\text{[math]}$ est un générateur puis qu'il existe une certaine puissance k tel que $\text{[math]}$ si k est premier avec n (on devra penser à un théorème d'arithmétique....)

invite8d54258a · 30/06/2010, 13h15

Pour démontrer que la fonction $\text{[math]}$ est bien définie, on choisit deux représentants de $\text{[math]}$ . Mais alors par définition, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ et donc les images par $\text{[math]}$ sont forcément égales ! C'est bien ça ?!

Cette application nous sert à quoi finalement ? Car si j'ai bien compris, tu suggères de prouver que $\text{[math]}$ est un groupe cyclique sans utiliser cette application !

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 14h02

pour la premiere question:
pourquoi exp(2ikpi/n)=exp(2iupi/n)=exp(2ivpi/n)?

2nd question:
si tu connais les générateurs de Z/nZ, ça revient au même. (d'ailleurs on montre que ce sont des générateurs par la même méthode...)

invite8d54258a · 30/06/2010, 15h37

Dans ce cas, autant démontrer directement que $\text{[math]}$ est un groupe cyclique ! Je crois que je me suis encore perdu. Je croyais que cette application donne tout, alors qu'en fait, cela revient au même vu qu'il faut connaitre les générateurs de $\text{[math]}$ .

Si je veux montrer que c'est un groupe cyclique, que dois-je prouver ? Un groupe est cyclique s'il est monogène et fini.

Il faut donc que je montre que :
1) $\text{[math]}$ est un groupe ;
2) $\text{[math]}$ est monogène, engendré par $\text{[math]}$ ;
3) $\text{[math]}$ est fini ;

1)
- $\text{[math]}$ car il contient $\text{[math]}$ .
- si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $\text{[math]}$ (ensemble des nombres complexes de module 1).

2)
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (j'hésite, c'est $\text{[math]}$ ou bien $\text{[math]}$ ?)

3)
?

Ou intervient le $\text{[math]}$ ? Et $\text{[math]}$ ?

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 16h51

1)pourquoi ab^-1=ek? on sait juste alors que ab^-1 appartient a mu n (et c'est ce qu'on veut!)

2)e1 n'est pas égale a 1....

essai de montrer que tous les element de mu n s'ecrivent e1^j pour un certain j (c'est pas dur a trouver...)

invite8d54258a · 30/06/2010, 17h06

Je corrige !

Envoyé par Leonhardo

1)
- $\text{[math]}$ car il contient $\text{[math]}$ .
- si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ ;

Cela montre bien que $\text{[math]}$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $\text{[math]}$ , non ?

Envoyé par Leonhardo

2)
$\text{[math]}$

On a bien $\text{[math]}$ ?
Pour prouver qu'il est cyclique, on va montrer :
- qu'il est monogène car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ c'est-à-dire exactement tous les éléments de $\text{[math]}$ .
- qu'il est fini car il est de cardinal $\text{[math]}$ d'après la première question !

Conclusion, $\text{[math]}$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $\text{[math]}$ cyclique.

Je ne vois toujours pas le lien avec la fonction indicatrice d'Euler et le pgcd. C'est donc que j'ai (encore) écris une ânerie !

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 19h14

jusque là c'est entierement correct mais pourquoi tu rajoutes e1^n appartient a mu n pour montrer qu'il est monogene (par contre il faut bien montrer que tous elements s'ecrit e1^l pour un certain l)

Maintenant, sous quelle(s) condition(s) ek est un élément générateur de mu n?

indice:

Cliquez pour afficher

restera ensuite a dénombrer ce nombre de générateur (et on trouvera phi(n))

invite8d54258a · 30/06/2010, 19h24

- $\text{[math]}$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $\text{[math]}$ , OK.

- $\text{[math]}$ , d'après la question précédente, OK.

- $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ c'est-à-dire exactement tous les éléments de $\text{[math]}$ :

Ceci prouve quoi ? On a pas encore prouvé que $\text{[math]}$ est monogène avec ça ? J'ai pas saisi le sens de la dernière question (celle avec l'indication)

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 19h35

si c'est ok.

Mais on te demande tous les éléments générateurs, et il n'y a pas que e1

invite8d54258a · 30/06/2010, 20h04

Ok, donc il est bien monogène car engendré par $\text{[math]}$ et fini car de cardinal fini : il a $\text{[math]}$ éléments !

Maintenant, l'autre question, c'est quels sont tous les générateurs de $\text{[math]}$ ? On a pris un exemple particulier (c'est-à-dire $\text{[math]}$ ) pour montrer qu'il était monogène et fini (donc cyclique) et la on veut connaitre tous les générateurs. Ai-je bien compris ?

Un élément $\text{[math]}$ est générateur si $\text{[math]}$ ?

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 20h27

oui pour le début

non pour la fin: un élément x est générateur si pour tous éléments y de mu n, il existe un certain p tel que x^p=y

on pourra montrer que cela est équivalent a: il existe un certain j tel que x^j=e1

invite8d54258a · 30/06/2010, 21h57

Ok !
$\text{[math]}$ est générateur si $\text{[math]}$ .

On veut montrer que $\text{[math]}$ (avec $\text{[math]}$ ) est générateur.

Donc soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$ est cette dernière quantité est égale à $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$ .

Hormis le cas $\text{[math]}$ (qui du reste est évident car alors $\text{[math]}$ et il suffit de prendre $\text{[math]}$ ) on voit qu'on peut prendre $\text{[math]}$ à condition que $\text{[math]}$ pour que $\text{[math]}$ !

Sinon, je pense à la division euclidienne, mais n'arrive pas à écrire les choses.

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 22h20

si et seulement si pl=k? sur?

exp(a)=exp(b) ssi a=b? sur?

invite8d54258a · 30/06/2010, 22h25

Envoyé par SchliesseB

si et seulement si pl=k? sur?

exp(a)=exp(b) ssi a=b? sur?

Mise en garde au logarithme versus complexe ?
Mais je vois pas comment faire autrement !

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 22h54

exp(a)=exp(b) <=> a=b modulo 2ipi

invite8d54258a · 30/06/2010, 23h04

En effet !
$\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ pour un certain $\text{[math]}$ . Soit encore $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ convient ;
Soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Et donc du coup, il faut $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour que $\text{[math]}$ soit entier maintenant !

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 23h13

1) on ecrit pas 2pi|pl-k car ce ne sont pas des entiers

que veut dire la relation divise pour des réels? (car dans les réels tout divise tout, sauf si 0 qui divise rien)
la def de modulo (2pi) te donne direct
k=pl+2Pim avec m entier

2)la conséquence aussi est fausse.
si n|p+k alors n|p et n|k? non! (2 divise 1+1 par exemple...)
de plus, tu as passé p de l'autre coté, tu divise par un truc et tu obtient pas en entier...bref il y a beaucoup de fautes...

comme dis précédemment, on cherche les k tel que il existe m tel que ek^m=e1
c'est a dire comme tu l'as dis
km+pn=1 avec p entier (tu ecris les exponentielles et tu utilises ce que j'ai dis ci dessus)

maintenant
je te donne m et n, sous quelles conditions il existe m et n pour que km+pn=1 (ça te rappele pas un théorème?)

invite8d54258a · 30/06/2010, 23h32

Oui, je suis trop resté sur l'arithmétique d'il y a quelque jour ! Ceci dit, je ne vois pas comment passer de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ !

Maintenant, je vois bien le théorème de Bezout ! Cela est équivalent à $\text{[math]}$ . On a donc démontré que $\text{[math]}$ est générateur si et seulement si $\text{[math]}$ . Il y a donc autant de générateur de $\text{[math]}$ que de nombre premier avec $\text{[math]}$ , c'est-à-dire par définition $\text{[math]}$ . Je crois !

invite1e1a1a86 · 30/06/2010, 23h41

la fin est juste
le début l'est moins car en fait l'équation pl=k+2pim est fausse.

en fait tu trouves: 2iplPi/n=2ikPi/n modulo(2Pi). reprends tes calculs.

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