Vocabulaire de la théorie des ensembles

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
J'aurai une question à vous poser sur un exercice dont voici l'énoncé:

Soit R la relation définie dans R (réel) par:
(x^3+2)(y²+1)=(y^3+2)(x²+1)
a/ Vérifier que R est une relation d'équivalence
b/ Pour tout x de R (réel), préciser le nombre d'élément de Cl R (x) (classe d'équivalence de x modulo R)

Pour la question a/
Comment sait on que R est une relation binaire dans un ensemble E (par exemple) ?

J'ai vu qu'on avait xRy (=) (x^3+2)/(x²+1)=(y^3+2)/(y²+1).
donc xRy (=) f(x)=f(y) avec f:t -> (t^3+2)/(t²+1)

Comment montrer que R est réflexive, symétrique et transitive ???
Pour transitive, faut il créer un troisième élément z par exemple d'après mon cour ?

Dans la définition, quelle est la différence entre symétrique et antisymétrique ???

Pour la question b/
Pourriez vous m'expliquer la notion de classe d'équivalence de x modulo R.
Tout ce que je sais est que:
Pour tout x de E, Cl R (x) = {y app E ; xRy)
app signifie appartient

Je vous remerci beaucoup d'avance de vos réponses car je suis un peu perdu. ^^

PS 1: Je vais rentrer en MPSI, c'est donc normale que certaines de mes questions peuvent parraitre anodines ^^.

PS 2: Existe t-il plusieurs théorèmes de logique (infinité ?)
Doit on en "créer" face à un exercice ou sont -il tous à apprendre par coeur ?

PS 3: J'ai souvent entendu que certaines calculatrices peuvent être utiles en prépa, notamment la TI 200 et la TI 89 Titanium.
Pourquoi ? Quelles différences entre ces deux là ?
Peuvent elles nous apporter de l'aide dans le chapitre "Vocabulaire de la théorie des ensembles" ?
Laquelle vaut il mieux choisir ? (discrétion, efficacité, utilité en MPSI ...)

PS 4: Si vous avez des conseils à me donner sur la prépa ou le chapitre "Vocabulaire de la théorie des ensembles", je vous attends avec joie ^^
-----

[invite9617f995]

Bonjour,

Comme tu l'as dit, on a pour tout x, y réels : xRy <=> f(x)=f(y).
Pour la suite de l'exo tu dois quasiment tout le temps utilisé cette équivalence.

Comment montrer que R est réflexive, symétrique et transitive ?

Pour montrer que R est réflexive, tu dois montrer que pour tout x réel, tu as xRx. Etant donné l'équivalence dont on a parlé plus haut, que faut faut-il pour que xRx ? Une fois que tu auras vu ça, la réflexivité te paraîtra évidente.

Pour montrer que R est symétrique : tu dois montrer que pour tout x, y réels, si xRy alors yRx. Encore une fois tu vas utiliser l'équivalence vue plus haut.
Que signifie xRy ? Que faut-il pour avoir yRx ? Encore une fois, dès que tu auras traduit ça avec la fonction f, la symétrie de paraîtra évidente.

Pour la transitivité, il ne faut pas "créer" un nouvel élément mais juste il faut considérer trois éléments. Ce que je dis peut passer pour du pinaillage mais je pense que pour comprendre vraiment ce qu'on fait, c'est le genre de chose auquel tu dois faire gaffe (en plus le sujet s'intitule "vocabulaire de la théorie des ensembles" donc bon ).

Ici les x, y qui interviennent dans la définition de R ne sont pas des éléments que tu crées quand tu veux parler de ta relation d'équivalence. En fait tu dispose déjà d'un certain ensemble d'éléments (ici l'ensemble des nombres réels) et tu veux étudier les propriétés d'une certaine relation entre les éléments de cet ensemble.
Donc ici quand tu vas vérifier si pour un certain x et un certain y, tu as xRy, tu ne crées pas tes éléments x et y. Disons juste que tu les pioches dans l'ensemble des nombres réels.

De plus il y a peut-être une autre petite incompréhension, quand tu dis que tu crées un autre élément : les x et y qui interviennent dans la définition de R ou dans les propriétés de réflexion et de symétrie par exemple ne sont pas les mêmes. En fait tu ne commences pas ton exo en disant : je ne considère que deux réels, que je vais noter x et y. Il faut voir les x et y comme internes et à la définition de R ou interne à la propriété de réflexion. A chaque fois que tu écris une proposition logique, il faut bien voir si les objets qui interviennent dedans viennent d'un contexte plus général ou sont propres à la proposition que tu écris, auquel cas tu dois les définir dans ta proposition. Je ne sais pas si ce que je dis est très clair, ici ça peut paraitre anodin mais il y a des cas où ça peut être vraiment trompeur.

Pour en revenir à la transitivité, tu dois donc commencer en te donnant trois réels x, y et z, ce que tu vas écrire "Soit x, y et z appartenant à R". Ensuite, tu dois encore utiliser l'équivalence vu plus haut pour prouver que si xRy et yRz, tu as xRz. Je te laisse y réfléchir.

Dans la définition, quelle est la différence entre symétrique et antisymétrique ?

Hmm, la définition de l'antisymétrie peut paraître assez abstraite quand on est pas habitué à la logique, mais attention elle est très différente de la propriété de symétrie, voir en fait totalement contraire.
La symétrie te dit que pour n'importe quels réels x et y, si tu as xRy alors tu auras yRx.
L'antisymétrie au contraire te dis que le seul moyen d'avoir à la fois xRy et yRx est d'avoir x=y. Ce qui veut aussi dire que si x est différent de y, alors tu ne peux pas avoir à la fois xRy et yRx.


Pour la question b), il faut un peu étudier la fonction f, et notamment ses propriétés de surjectivités : faire un graphe de la fonction f est déjà un bon début pour visualiser les choses. Mais bon, je te propose de d'abord bien comprendre la première question avant de t'attaquer à celle-ci.

PS 1: Je vais rentrer en MPSI, c'est donc normale que certaines de mes questions peuvent parraitre anodines ^^

Pas de problème, c'est normal

PS 2: Existe t-il plusieurs théorèmes de logique (infinité ?)
Doit on en "créer" face à un exercice ou sont -il tous à apprendre par coeur ?

Hmm tout dépend de ce que tu appelles un théorème de logique. Et je me demande d'ailleurs su tu ne confonds pas plusieurs notions.
Si par théorème tu entends une règle, énoncée par exemple par des mathématiciens, que tu vas appliquer lors de tes raisonnements, et qui vont te permettre de démontrer des choses alors oui il y en a plusieurs et oui il y en a certaines à connaître. Par contre il n'y en a pas une infinité (du moins pas une infinité de connues), ou alors les mathématiciens sont très forts

Après est-ce que tu ne confonds par avec les raisonnements en eux même, c'est à dire en gros faire un exo de math quoi, on te donne des hypothèses, tu utilises des règles de logiques, tu arrives à une conclusion : alors là il y a une infinité de raisonnement possible car une infinité de problèmes possibles (même si évident on en a pas étudié une infinité). Par contre, le terme de théorèmes de logique ne convient pas vraiment ici, il désignerait plutôt les règles qui te permettent d'avancer dans ton raisonnement. Pour ce qui est de les connaître ou pas : tu auras de tout, il y a des méthodes et raisonnement assez classiques qu'il vaut mieux connaître et des fois où tu auras à chercher toi même comment trouver la solution (et heureusement d'ailleurs car sinon 1. on ne jugerait les gens que sur ce qu'ils ont appris par cœur et pas sur leurs capacités de réflexions et 2. ça serait assez chiant les maths ).


Le PS3 je n'en ai aucune idée ^^

Le PS4 : je ne suis pas obligatoirement le mieux placé pour te conseiller là dessus n'étant pas passé par une prépa mais si je peux donner ma vision des maths : essaye de comprendre ce que tu apprends, ça passe tout de suite beaucoup mieux et c'est ce qui te seras utile quand tu tomberas sur un problème inconnu


Bonne chance,
Silk

[invite1a299084]

Bonjour,

PS 3: Je passe en 2ème année. Beaucoup de ma classe ont une TI 89 Titanium. Cependant, il y a une calculatrice qui vaut le coup (je pense) c'est le TI N-spire, elle a l'air vraiment: WAOUH !

Mais tu vas voir, moi je vis avec une TI 83 + et je le vis bien. On ne l'utilise pas trop non plus la calculatrice. Surtout qu'à certains concours, elle est interdite.

PS 4: Ce n'est pas forcément utile de faire le programme en avance. Certes au début de l'année tu vas savoir des trucs sur la théorie des ensembles car vous ne l'avez pas fait. Puis pendant le chapitre, tout va se rééquilibrer et tout le monde va être au même niveau. Et donc l'avantage que tu as pris pendant les vacances n'est plus forcément utile. De plus que la prépa ça va assez vite.

Je te conseille d'être à 100% pendant les cours, bien écouter, comprendre. Et tu verras ça sera plus cool pour bosser à la maison. Il va falloir faire et refaire les exos que les professeurs te proposent et pas la peine forcément de bouffer des bouquins d'exos.

Et pour la théorie des ensembles, tu vas voir c'est nouveau pour un élève de prépa mais tu vas beaucoup l'utiliser dans la suite de l'année.

Voilà ! Bon courage !

[inviteda3529a9]

Merci beaucoup pour cette réponse très détaillée ^^

Cependant, pourriez vous me détailler les étapes pour démontrer:

La réflexivité (est ce que on doit considérer que y=x ??? Pourquoi ?)
La symétrie
La transitivité

Afin que celà me serve d'exemple pour les exercices que je rencontrerai l'année prochaine.

Pourriez vous aussi me donner un exemple détaillé de symétrie et antisymétrie afin que je vois bien la différence.

En tout cas, si vous refusez, merci beaucoup déjà pour votre réponse.

A très bientôt

PS: Aurriez vous des indices pour la seconde question ou en tout cas afin que je puisse comprende la notion de classe d'équivalence en x modulo R ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Bon, je détailles la réflexivité et la symétrie.

Je reprends tes notations et je rappelle que :


Réflexivité :
Soit quelconque. On a f(x)=f(x) donc par définition de R, on a xRx.
En conclusion, on a donc : , xRx. R est donc réflexive.

Symétrie :
Soit .
Supposons que xRy. Par définition de R, on a f(x)=f(y), d'où f(y)=f(x). On a donc yRx.
En conclusion, on a donc : . R est donc symétrique.

Arriverais-tu à faire la transitivité ? Je te donne le tout début de la rédaction :
Soit .
Supposons que xRy et yRz. Par définition de R, on a ...
Je te rappelle que tu dois aboutir au fait que xRz.

Pour un exemple de symétrie, la relation R vu plus haut en est un, mais si tu veux un exemple plus flagrant, alors tu peux prendre la relation d'égalité. Dire que la relation d'égalité "=" est symétrique c'est simplement dire que si jamais tu as deux réels x et y tels que x=y, alors tu as aussi y=x.
D'ailleurs, si tu fais gaffe,dans mes deux démonstrations ci-dessus, j'utilise le fait que "=" est une relation réflexive et symétrique. En effet j'affirme que f(x)=f(x) (car l'égalité est réflexive) et que comme j'ai f(x)=f(y), alors j'ai f(y)=f(x) (car l'égalité est symétrique). D'ailleurs pour démontrer la transitivité de R, il faut utiliser celle de l'égalité.

Pour un exemple d'antisymétrie, tu peux considérer la relation "inférieur ou égal". En effet, imagine que tu aies à la fois et , alors il parait assez évident que x=y (x ne peut pas être à la fois inférieur et supérieur à y sans lui être égal).


Pour la question b), traduisons d'abord ce qu'est la classe d'équivalence :
Soit x un réel, la classe d'équivalence de x est donc ici .
Ce qu'il faut comprendre de cette définition, c'est que Cl_R est un ensemble (plus précisément un sous-ensemble de ), qui va dépendre de x et qui va contenir tous les réels y tels que f(y)=f(x).

Si tu veux je te donne un exemple similaire mais un peu plus simple. Considérons la relation Q définie sur par :


Et cherchons par exemple la classe d'équivalence modulo Q du réel 1. On cherche donc à déterminer tous les réels y tels que y²=1²=1. Il n'y en a en fait que 2, qui sont 1 et -1. Cl_Q(1) est donc l'ensemble qui contient 1 et -1 : on note ça Cl_Q(1)={-1,1}.

Peut-être avant de t'attaquer à la relation R peux-tu essayer de t'entrainer avec la relation Q. Exactement sur le même modèle de ce que je viens de faire, que va être Cl_Q(2) ? Et Cl_Q(-1) ? Et Cl_Q(0) ?


Je te laisse réfléchir aux petites questions que je te pose, si jamais tu n'y arrives pas, n'hésites pas à demander

Silk

[invite705d0470]

Je trouve ça super intéressant, du moins à première vue puisque je passe en prépa MPSI cette année, donc je n'ai pas de réelles connaissances sur ce sujet (juste feuilleté une encyclopédie, plus par curiosité que par soucis d'efficacité bien sûr).
Ne pas savoir ça, ce n'est pas handicapant pour la rentrée, si ?

Je dois avouer que j'ai déjà du mal à saisir à quoi correspond cette Relation ...

Bien sur, comme le dit Formule1, , mais qu'est ce que celà change pour ... ?
Si j'admets ce que dit Silk78: alors est une relation d'égalité, non pas sur des éléments réels mais sur leurs images par la fonction telle que ?

Bref bref bref ... ^^
Je pense saisir la symétrie et la réflexivité.
Pour la transitivité, si on considère tels que et , a-t'on alors et , ce qui implique ? On aurait alors bien , et

Pour ton exemple avec la relation Q, on a alors.
La classe d'équivalence de 2 modulo Q, , est l'ensemble des réels y qui vérifient , c'est bien ça ? Du coup, on a
Et de la même manière, et , non ?

Mais comment adapter celà à la relation R initiale ? ...
On doit surement étudier f, mais bon ... J'arrive à montrer qu'elle est croissante sur et décroissante sur avec et mais impossible de trouver leurs vraies valeurs ! (je prouve facilement leur existence grâce au théorème de la bijection, mais pas plus) ... et que ainsi que

Sur un graphique, c'est nettement plus clair d'ailleurs
J'en conclue que possède deux antécédents, avec puisque alpha 1 est " un maximum local " (un schéma simplifie tout, vraiment !) et de même pour , avec cette fois-ci x_{2}< \alpha _{2} puisque alpha 2 est "un minimum local".
Bref, j'en conclurais donc que:

1) donc que la classe de x ne contient qu'un seul élément, x lui-même.

2) donc la classe de x ne contient là aussi qu'un seul élément, x lui-même.

3) , la classe de x contient 3 éléments, dont x lui-même (donc deux différents de x)

4) Si ou si alors la classe d'équivalence de x contient exactement deux éléments: et ! (et de même pour etc ...)

Ce raisonnement est-il correct ?

Merci beaucoup d'avance de me lire, et surtout soyez indulgent, je ne suis pas encore en prépa ^^
Bonne soirée

[invite9617f995]

Salut,

Bien sur, comme le dit Formule1, , mais qu'est ce que cela change pour ... ?

En soit ça ne change pas R (et il vaut mieux d'ailleurs) mais ça simplifie la vie du mathématicien (et ça c'est une bonne chose ). Je m'explique : tu pourrais très bien faire les démonstrations avec la forme non fractionnaire, et pour ça une solution serait de considérer la fonction à deux variables de dans qui à (x,y) associe (x³+2)(y²+1). On aurait alors :


Je te laisse le soin de le vérifier, la réflexivité et la symétrie sont évidentes, mais la transitivité et surtout l'étude des classes d'équivalence sont beaucoup plus pénibles.

Remarque quand même qu'avant de donner cette caractérisation de xRy, il faut bien préciser que pour x et y réels, x²+1 et y²+1 sont non nuls, ce qui légitime l'écriture fractionnaire.

Si j'admets ce que dit Silk78: alors est une relation d'égalité, non pas sur des éléments réels mais sur leurs images par la fonction telle que ?

C'est bien l'idée

Je pense saisir la symétrie et la réflexivité.
Pour la transitivité, si on considère tels que et , a-t'on alors et , ce qui implique ? On aurait alors bien , et

C'est exactement ça !

Pour ton exemple avec la relation Q, on a alors.
La classe d'équivalence de 2 modulo Q, , est l'ensemble des réels y qui vérifient , c'est bien ça ? Du coup, on a
Et de la même manière, et , non ?

Rien à redire là-dessus.

Tout le blabla sur les classes de R ^^

Effectivement tu as bien compris ce qu'il fallait faire : étudier la fonction f. Et je dois dire que tu t'en sors très bien : tu as mes félicitations (surtout pour avoir penser que les maximums locaux n'admettent pas trois mais 2 antécédents)

En gros, je suis d'accord avec tout ce que tu dis, à part : il me semble qu'il y a un petit problème dans ta conclusion 4). Tu dis que si ou x=x₁ alors la classe de x contient et x₁ mais ces deux là n'ont pas même image. C'est plutôt et .

Pour ce qui est des valeurs de tes et : tu dois dériver f et essayer de trouver quand elle s'annule (je suppose que c'est ce que tu as fait). Pour ça tu dois trouver les racines réelles d'un polynôme de degré 4 : je suis d'accord que ce n'est pas évident qu'il n'y a que deux racines réelles et , et je comprend que tu ne trouve pas la valeur de (qui en fait vaut 1). Par contre tu devrais pouvoir trouver : le polynôme de degré 4 en question admet quand même une racine très évidente Je te laisse y réfléchir.

Ensuite, avec les valeurs de et , tu dois sans doute pouvoir trouver x₁ et x₂ mais j'ai la flemme ^^.

Ne pas savoir ça, ce n'est pas handicapant pour la rentrée, si ?

Il faut prendre ce que je dis avec des pincettes étant donné que je n'étais pas taupin mais je ne pense pas qu'on te demande de connaître le programme à l'avance. Je pense d'ailleurs qu'il vaut mieux être sur de ces bases de lycée avant d'essayer de s'attaquer aux maths de prépa, et excepté un changement radical depuis que j'ai quitté le lycée, la théorie des ensembles n'y ai pas enseignée.

Bonne soirée,
Silk

[invite9617f995]

Arff, j'ai parlé trop vite et je ne peux plus éditer. Mais il y a un autre problème dans ta conclusion sur les classes de R : dans le cas ou x₁<x<x₂, tu as oublié d'enlever les alphas !

Oh, et j'ai souvenir que je me faisais enguirlander quand je disais qu'une fonction était croissante sur une réunion d'intervalles : il fallait que je dise croissante sur I1 et I2.