Suite de vecteurs convergente (question ouverte)

[invite6bd2ab1d]

Bonjour,

Je me pose une question sur une suite convergente de vecteurs telle que:



Je sais que cette suite converge vers 0 ( ) et que est inversible.

On se place dans le cas ou A n'est pas nilpotente.

Je cherche des conditions suffisantes (par exemple sur ) pour que les matrices et/ou soient inversibles.

Pour l'instant je n'ai qu'une condition nécessaire simple, qui est que ne doit pas être un vecteur propre de A.
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[Seirios]

Bonjour,

En s'inspirant de ceci, on peut dire que est inversible ssi est une base de ssi .

[invite029139fa]

Oo, pdf de mon colleur =)

Je ne l'ai pas lu, mais connaissant un peu son site, je peux confirmer que ce pdf sera surement complet !

[invite6bd2ab1d]

Donc en pratique pour que il faut :

- Que A ait n valeurs propres distinctes (nécessaire pour que le degré du polynôme minimal soit égal à n (?))
- Que quelque soit Q un polynôme de degré i < n, pour garantir que la multiplication par ne permette pas de réduire le degré.

En pratique je ne peux pas construire , donc je ne sais pas comment mettre en place un test pour savoir choisir un tel que soit inversible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6bd2ab1d]

Je suis toujours bloqué dans le choix de ,

Pour avoir une base de il suffit que :

pour tous les .

Autrement dit il faut que :

quelques soient les , et donc que ne soit pas vecteur propre de :


Je me demande si choisir en dehors des vecteurs propres de A n'est pas une condition suffisante pour que soit inversible( i.e. pour que soit une base de ) .

Est-ce que quelqu'un aurait un contre exemple?
C'est à dire un tel que ne soit pas une base de .

[invitea07f6506]

Donc en pratique pour que il faut :

- Que A ait n valeurs propres distinctes (nécessaire pour que le degré du polynôme minimal soit égal à n (?))
- Que quelque soit Q un polynôme de degré i < n, pour garantir que la multiplication par ne permette pas de réduire le degré.

Faux, et faux

* A peut très bien n'avoir qu'une seule valeur propre (voir la suite) ;
* pour un certain polynôme de degré au plus et pour tout . Quelque soit la matrice .


Pour toute valeur propre , je note le sous-espace propre, la dimension de , et l'endomorphisme induit par (l'endomorphisme associé à) sur .

Il me semble, mais je n'ai pas vérifié, que l'inversibilité de n'a rien à voir là-dedans, pour commencer. Ensuite, je soupçonne qu'une CNS pour qu'un tel vecteur existe est la suivante :

CNS (conjecture) : Pour tout ans le spectre de , on peut écrire , où est une application nilpotente dont le noyau est de dimension 1.

Il faut choisir alors tel que, si je note la projection canonique de sur , on ait pour tout dans le spectre.

(en travaillant sur les décompositions de Jordan, ça devient tout de suite moins cryptique)

[invite6bd2ab1d]

D'abord merci pour les corrections,

Je ne suis plus très familier avec les décompositions de Jordan / Dunford, mais qu'est-ce qu'il se passe si par hypothèse quelque soit ?