Algebre de Boole sur un ensemble infini et valeur de vérité
Algebre de Boole:définition
On dit qu'un espace algebrique [ E , + , . ] est une algebre de Boole SSI les lois + et .
1)sont commutatives
2)sont associatives
3)forment une distribution
4)forment une idempotence
De sorte que:
QQS X dans E on obtiens:
l'endobijection dans E que l'on note X* telle que:
X*X
(X*)* = X
0* = 1
1* = 0
X + X* = 1
X . X* = 0
X + 0 = X
X . 1 = X
X + X = X
X . X = X
X + 1 = 1
X . 0 = 0
QQS X et QQS Y dans E on obtiens:
X + Y = Y + X et X . Y = Y . X
X + ( X . Y ) = X et X . ( X + Y ) = X
( X + Y ) + ( X . Y ) = X + Y et ( X . Y ) . ( X + Y ) = X . Y
( X + Y )* = X* . Y* et ( X . Y )* = X* + Y*
X . Y = ( X + Y* ) . Y et X + Y = ( X . Y* ) + Y
QQS X et QQS Y et QQS Z dans E on obtiens:
( X + Y ) + Z = ( X + Z ) + ( Y + Z )
( X . Y ) . Z = ( X . Z ) . ( Y . Z )
Traduction des operateurs logiques:
On obtiens:
X "OU" Y se traduit par: X + Y
X "ET" Y se traduit par: X . Y
X "=>" Y se traduit par: X* + Y
X "<=>" Y se traduit par: ( X + Y* ) . ( X* + Y )
ce qui sur E={0,1} donne:
0 + 0 = 0 Faux "OU" Faux = faux
0 + 1 = 1 Faux "OU" vrai = vrai
1 + 0 = 1 vrai "OU" Faux = vrai
1 + 1 = 1 vrai "OU" vrai = vrai
0 . 0 = 0 Faux "ET" Faux = faux
0 . 1 = 0 Faux "ET" vrai = faux
1 . 0 = 0 vrai "ET" Faux = faux
1 . 1 = 1 vrai "ET" vrai = vrai
0* + 0 = 1 + 0 = 1 Faux => Faux = vrai
0* + 1 = 1 + 1 = 1 Faux => vrai = vrai
1* + 0 = 0 + 0 = 0 vrai => Faux = faux
1* + 1 = 0 + 1 = 1 vrai => vrai = vrai
( 0 + 0* ) . ( 0* + 0 ) = ( 0 + 1 ) . ( 1 + 0 ) = 1 . 1 = 1 Faux <=> Faux = vrai
( 0 + 1* ) . ( 0* + 1 ) = ( 0 + 0 ) . ( 1 + 1 ) = 0 . 1 = 0 Faux <=> vrai = faux
( 1 + 0* ) . ( 1* + 0 ) = ( 1 + 1 ) . ( 0 + 0 ) = 1 . 0 = 0 vrai <=> Faux = faux
( 1 + 1* ) . ( 1* + 1 ) = ( 1 + 0 ) . ( 0 + 1 ) = 1 . 1 = 1 vrai <=> vrai = vrai
Algebre de Boole:Ensemble fini et principe de valeur de verite
On peut définir tout algèbre de Boole pour tout ensemble de cardinal n tel qu'il existe u est un entier naturel on obtient: n = 2^u
Il s'agit en fait des opérations "union" et "intersection" que l'on utilise avec les éléments de l'ensemble de toutes les parties d'un ensemble E de cardinal n
et en considerant l’élément "ensemble vide" est de valeur: faux et l’élément "ensemble E" est de valeur: vrai
tous les autres éléments sont ni vrais ni faux
On peut donner une valeur de vérité:
la valeur de vérité de la sous partie de cardinal k sera donnée par l'expression:
k / n
par conséquent si k = 0 on obtient la valeur 0
si k = n on obtient la valeur 1
Pour tout ensemble fini de cardinal 2^u avec u entier naturel
ayant defini un ensemble E={e1,e2,e3,...,eu} d'axiomes(c'est à vous de les definir)
cet ensemble E contiens donc u elements
vous constituez l'ensemble de toutes ses parties P(E) celui-ci contenant l'ensemble vide Ø et l'ensemble E
P(E) = { Ø , {e1} , {e2} , ... , {eu} , {e1,e2} , {e1,e3} ,..., E }
cet ensemble P(E) contiens donc 2^u elements on pose n=2^u
par ailleurs pour tout x de P(E) on note k(x) la quantite d'axiome qu'il contiens ainsi: k( {e1,e2} ) = 2
par ailleurs on note le complementaire de X en utilisant la notation X* pour explication
par exemple E={ e1, e2 ,e3 } donc P(E)= { Ø ,{e1},{e2},{e3},{e1,e2},{e1,e3 },{e2,e3}, E }
ainsi par exemple si x={e1} alors son complementaire x*= {e2,e3}
Algebre de Boole:Traduction des operations sur les ensembles
"union" se traduit par +
"intersection" se traduit par .
Algebre de Boole:Espace infini [Z , + , . ]
Jusqu'à present on a vu comment travailler sur un ensemble fini à present construisons la possibilitée de travailler sur un ensemble dont on peut toujours augmenter la quantité de ses axiomes
on utilise l'ensemble des relatifs Z pour le calcul de la valeur de verite on emploie une formule differente car Z est infini
La valeur de verite sera donnée par l'expression : 1 - 1/k(X)
*ormis lorsque X=0 dans ce cas on pose la valeur 0
en fait lorsque X= 0 on obtiens (Je vais m'expliquer) k(X)=0 par consequent lorsque k(X) = 1 et k(X) = 0 on obtiens la même valeur nulle de verité
*ormis Lorque X=1 on n'attribue pas de valeur à k(X) on obtiens la valeur de verité 1
*ormis lorsque X < 0 dans ce cas la valeur de verite sera 1
Le complementaire de x que l'on note x* est donné tout simplement en effectuant la soustraction usuelle 1 - X par exemple pour X=3 on obtiens 1 - 3 = -2
donc si X = 3 alors son complementaire est X* = -2 ( par consequent selon ce qu'on viens de dire sa valeurs de verite vaut 1)
cas1) on considere pour quelque soit X est un entier relatif
X+0=X
X+1=1
X+X=X
X+X*=1
X.0=0
X.1=X
X.X=X
X.X*=0
cas2)Lorsque X et Y sont superieurs ou egal à 2
A tout entier naturel superieur ou egal à 2 (donc inclus dans Z) on fait correspondre des ensembles d'entiers naturels inclus dans N*(c'est à dire demuni de l'element 0 à ne pas confondre avec le symbole complementaire)selon le principe tres simple:
2 -> {1}
3 -> {2}
4 -> {1,2}
5 -> {3} en fait on fait entrer un nouveau entier naturel car on a exploité tout ce que l'on pouvait construire comme ensembles avec les autres entiers naturels inferieurs à celui-ci
6 -> {1,3}
7 -> {2,3}
8 -> {1,2,3}
9 -> {4} on fait donc entrer l'entier naturel 4 qui suit directement les trois premiers car on a exploité tout ce que l'on pouvait construire comme ensembles avec les autres entiers naturels inferieurs à celui-ci
10 -> {1,4} on a compris le principe ...
on utilise les mêmes operateurs que precedemment + et .
ainsi donc par exemple : {2,3} + {4} = {2,3,4} donc on peut ecrire 7+9=15
car en appliquant la procedure 15 -> {2,3,4}
{2,3} . {4} = Ø donc on peut ecrire 7.9=0 car on fait correspondre Ø à 0
cas 3)Lorsque X et Y sont inferieurs à 0
à present considerons X et Y tous deux negatifs
pour ce faire on applique le theorême:
X + Y = ( X* . Y* )*
X . Y = ( X* + Y* )*
dans ce cas le calcul se ramene comme precedemment puisque X* et Y* sont superieurs à zero
cas4)Lorsque X est superieur ou egal à 2 et Y inferieur à 0
on determine l'ensemble qui correspond à X et que l'on note:
{ x1 , x2 , ... , xp }
on determine l'ensemble correspondant à Y* (c'est possible puisque ici Y* est positif) et que l'on note:
{ z1 , z2 , ... , zq }
Ensuite on determine l'ensemble correspondant à X . Y* dans ce cas soit X . Y* = 0 et donc cet ensemble est Ø soit on le note:
{ t1 , t2 , ... , tm }
à present dans le langage des ensembles on considere la notation A \ B qui signifie A ormis B et n'est possible que si B est inclus dans A (pour ce qui nous interesse on tombera toujours sur cette possibilite)
pour determiner A \ B il suffit de construire l'ensemble composée de tous les elements de A qui n'appartienne pas à l'ensemble B
*premier sous cas lorsque X . Y* = 0 on obtiens X+Y=Y et X.Y=X
*deuxieme sous cas lorsque X . Y* = Y* on obtiens X + Y = 1
on recherche donc la valeur de X . Y cette valeur est positive et correspond à un ensemble que l'on doit determiner et que l'on note:
{ w1 , w2 , ... , wl }
on obtiens: { w1 , w2 , ... , wl } = { x1 , x2 , ... , xp } \ { t1 , t2 , ... , tm }
*troisieme sous cas lorsque X . Y* = X on obtiens X . Y = 0
on recherche donc la valeur de V = X + Y (ici on obtiens V est inferieur à 0 )
on obtiens V* correspond à l'ensemble { u1 , u2 , ... , uk } = { z1 , z2 , ... , zq } \ { t1 , t2 , ... , tm }
il suffit donc de determiner la valeur positive qui correspond à V* puis appliquer la soustraction usuelle 1 - (V*)
*quatrieme sous cas lorsque X . Y*
on recherche donc la valeur de V = X + Y (ici on obtiens V est inferieur à 0 )
on obtiens V* correspond à l'ensemble { u1 , u2 , ... , uk } = { z1 , z2 , ... , zq } \ { t1 , t2 , ... , tm }
il suffit donc de determiner la valeur positive qui correspond à V* puis appliquer la soustraction usuelle 1 - V*
on recherche donc la valeur de W = X . Y elle correspond à un ensemble que l'on doit determiner et que l'on note:
{ w1 , w2 , ... , wl }
on obtiens: { w1 , w2 , ... , wl } = { x1 , x2 , ... , xp } \ { t1 , t2 , ... , tm }
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