Algebre de Boole sur un ensemble infini et valeur de vérité
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Algebre de Boole sur un ensemble infini et valeur de vérité



  1. #1
    invite15b2900e

    Algebre de Boole sur un ensemble infini et valeur de vérité


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    Algebre de Boole sur un ensemble infini et valeur de vérité

    Algebre de Boole:définition

    On dit qu'un espace algebrique [ E , + , . ] est une algebre de Boole SSI les lois + et .
    1)sont commutatives
    2)sont associatives
    3)forment une distribution
    4)forment une idempotence

    De sorte que:

    QQS X dans E on obtiens:
    l'endobijection dans E que l'on note X* telle que:
    X* X
    (X*)* = X
    0* = 1
    1* = 0

    X + X* = 1
    X . X* = 0
    X + 0 = X
    X . 1 = X
    X + X = X
    X . X = X
    X + 1 = 1
    X . 0 = 0

    QQS X et QQS Y dans E on obtiens:

    X + Y = Y + X et X . Y = Y . X

    X + ( X . Y ) = X et X . ( X + Y ) = X

    ( X + Y ) + ( X . Y ) = X + Y et ( X . Y ) . ( X + Y ) = X . Y

    ( X + Y )* = X* . Y* et ( X . Y )* = X* + Y*

    X . Y = ( X + Y* ) . Y et X + Y = ( X . Y* ) + Y

    QQS X et QQS Y et QQS Z dans E on obtiens:

    ( X + Y ) + Z = ( X + Z ) + ( Y + Z )

    ( X . Y ) . Z = ( X . Z ) . ( Y . Z )


    Traduction des operateurs logiques:
    On obtiens:

    X "OU" Y se traduit par: X + Y

    X "ET" Y se traduit par: X . Y

    X "=>" Y se traduit par: X* + Y

    X "<=>" Y se traduit par: ( X + Y* ) . ( X* + Y )

    ce qui sur E={0,1} donne:

    0 + 0 = 0 Faux "OU" Faux = faux
    0 + 1 = 1 Faux "OU" vrai = vrai
    1 + 0 = 1 vrai "OU" Faux = vrai
    1 + 1 = 1 vrai "OU" vrai = vrai

    0 . 0 = 0 Faux "ET" Faux = faux
    0 . 1 = 0 Faux "ET" vrai = faux
    1 . 0 = 0 vrai "ET" Faux = faux
    1 . 1 = 1 vrai "ET" vrai = vrai

    0* + 0 = 1 + 0 = 1 Faux => Faux = vrai
    0* + 1 = 1 + 1 = 1 Faux => vrai = vrai
    1* + 0 = 0 + 0 = 0 vrai => Faux = faux
    1* + 1 = 0 + 1 = 1 vrai => vrai = vrai

    ( 0 + 0* ) . ( 0* + 0 ) = ( 0 + 1 ) . ( 1 + 0 ) = 1 . 1 = 1 Faux <=> Faux = vrai
    ( 0 + 1* ) . ( 0* + 1 ) = ( 0 + 0 ) . ( 1 + 1 ) = 0 . 1 = 0 Faux <=> vrai = faux
    ( 1 + 0* ) . ( 1* + 0 ) = ( 1 + 1 ) . ( 0 + 0 ) = 1 . 0 = 0 vrai <=> Faux = faux
    ( 1 + 1* ) . ( 1* + 1 ) = ( 1 + 0 ) . ( 0 + 1 ) = 1 . 1 = 1 vrai <=> vrai = vrai


    Algebre de Boole:Ensemble fini et principe de valeur de verite

    On peut définir tout algèbre de Boole pour tout ensemble de cardinal n tel qu'il existe u est un entier naturel on obtient: n = 2^u

    Il s'agit en fait des opérations "union" et "intersection" que l'on utilise avec les éléments de l'ensemble de toutes les parties d'un ensemble E de cardinal n
    et en considerant l’élément "ensemble vide" est de valeur: faux et l’élément "ensemble E" est de valeur: vrai
    tous les autres éléments sont ni vrais ni faux
    On peut donner une valeur de vérité:
    la valeur de vérité de la sous partie de cardinal k sera donnée par l'expression:
    k / n
    par conséquent si k = 0 on obtient la valeur 0
    si k = n on obtient la valeur 1

    Pour tout ensemble fini de cardinal 2^u avec u entier naturel
    ayant defini un ensemble E={e1,e2,e3,...,eu} d'axiomes(c'est à vous de les definir)
    cet ensemble E contiens donc u elements
    vous constituez l'ensemble de toutes ses parties P(E) celui-ci contenant l'ensemble vide Ø et l'ensemble E
    P(E) = { Ø , {e1} , {e2} , ... , {eu} , {e1,e2} , {e1,e3} ,..., E }
    cet ensemble P(E) contiens donc 2^u elements on pose n=2^u
    par ailleurs pour tout x de P(E) on note k(x) la quantite d'axiome qu'il contiens ainsi: k( {e1,e2} ) = 2

    par ailleurs on note le complementaire de X en utilisant la notation X* pour explication
    par exemple E={ e1, e2 ,e3 } donc P(E)= { Ø ,{e1},{e2},{e3},{e1,e2},{e1,e3 },{e2,e3}, E }
    ainsi par exemple si x={e1} alors son complementaire x*= {e2,e3}

    Algebre de Boole:Traduction des operations sur les ensembles

    "union" se traduit par +

    "intersection" se traduit par .

    Algebre de Boole:Espace infini [Z , + , . ]

    Jusqu'à present on a vu comment travailler sur un ensemble fini à present construisons la possibilitée de travailler sur un ensemble dont on peut toujours augmenter la quantité de ses axiomes
    on utilise l'ensemble des relatifs Z pour le calcul de la valeur de verite on emploie une formule differente car Z est infini

    La valeur de verite sera donnée par l'expression : 1 - 1/k(X)
    *ormis lorsque X=0 dans ce cas on pose la valeur 0
    en fait lorsque X= 0 on obtiens (Je vais m'expliquer) k(X)=0 par consequent lorsque k(X) = 1 et k(X) = 0 on obtiens la même valeur nulle de verité
    *ormis Lorque X=1 on n'attribue pas de valeur à k(X) on obtiens la valeur de verité 1
    *ormis lorsque X < 0 dans ce cas la valeur de verite sera 1

    Le complementaire de x que l'on note x* est donné tout simplement en effectuant la soustraction usuelle 1 - X par exemple pour X=3 on obtiens 1 - 3 = -2
    donc si X = 3 alors son complementaire est X* = -2 ( par consequent selon ce qu'on viens de dire sa valeurs de verite vaut 1)

    cas1) on considere pour quelque soit X est un entier relatif
    X+0=X
    X+1=1
    X+X=X
    X+X*=1

    X.0=0
    X.1=X
    X.X=X
    X.X*=0

    cas2)Lorsque X et Y sont superieurs ou egal à 2
    A tout entier naturel superieur ou egal à 2 (donc inclus dans Z) on fait correspondre des ensembles d'entiers naturels inclus dans N*(c'est à dire demuni de l'element 0 à ne pas confondre avec le symbole complementaire)selon le principe tres simple:

    2 -> {1}
    3 -> {2}
    4 -> {1,2}
    5 -> {3} en fait on fait entrer un nouveau entier naturel car on a exploité tout ce que l'on pouvait construire comme ensembles avec les autres entiers naturels inferieurs à celui-ci
    6 -> {1,3}
    7 -> {2,3}
    8 -> {1,2,3}
    9 -> {4} on fait donc entrer l'entier naturel 4 qui suit directement les trois premiers car on a exploité tout ce que l'on pouvait construire comme ensembles avec les autres entiers naturels inferieurs à celui-ci
    10 -> {1,4} on a compris le principe ...

    on utilise les mêmes operateurs que precedemment + et .
    ainsi donc par exemple : {2,3} + {4} = {2,3,4} donc on peut ecrire 7+9=15
    car en appliquant la procedure 15 -> {2,3,4}
    {2,3} . {4} = Ø donc on peut ecrire 7.9=0 car on fait correspondre Ø à 0

    cas 3)Lorsque X et Y sont inferieurs à 0
    à present considerons X et Y tous deux negatifs
    pour ce faire on applique le theorême:
    X + Y = ( X* . Y* )*
    X . Y = ( X* + Y* )*

    dans ce cas le calcul se ramene comme precedemment puisque X* et Y* sont superieurs à zero

    cas4)Lorsque X est superieur ou egal à 2 et Y inferieur à 0
    on determine l'ensemble qui correspond à X et que l'on note:
    { x1 , x2 , ... , xp }
    on determine l'ensemble correspondant à Y* (c'est possible puisque ici Y* est positif) et que l'on note:
    { z1 , z2 , ... , zq }
    Ensuite on determine l'ensemble correspondant à X . Y* dans ce cas soit X . Y* = 0 et donc cet ensemble est Ø soit on le note:
    { t1 , t2 , ... , tm }

    à present dans le langage des ensembles on considere la notation A \ B qui signifie A ormis B et n'est possible que si B est inclus dans A (pour ce qui nous interesse on tombera toujours sur cette possibilite)
    pour determiner A \ B il suffit de construire l'ensemble composée de tous les elements de A qui n'appartienne pas à l'ensemble B


    *premier sous cas lorsque X . Y* = 0 on obtiens X+Y=Y et X.Y=X

    *deuxieme sous cas lorsque X . Y* = Y* on obtiens X + Y = 1
    on recherche donc la valeur de X . Y cette valeur est positive et correspond à un ensemble que l'on doit determiner et que l'on note:
    { w1 , w2 , ... , wl }
    on obtiens: { w1 , w2 , ... , wl } = { x1 , x2 , ... , xp } \ { t1 , t2 , ... , tm }


    *troisieme sous cas lorsque X . Y* = X on obtiens X . Y = 0
    on recherche donc la valeur de V = X + Y (ici on obtiens V est inferieur à 0 )
    on obtiens V* correspond à l'ensemble { u1 , u2 , ... , uk } = { z1 , z2 , ... , zq } \ { t1 , t2 , ... , tm }
    il suffit donc de determiner la valeur positive qui correspond à V* puis appliquer la soustraction usuelle 1 - (V*)

    *quatrieme sous cas lorsque X . Y* 0 et lorsque X . Y* X et lorsque X . Y* Y*

    on recherche donc la valeur de V = X + Y (ici on obtiens V est inferieur à 0 )
    on obtiens V* correspond à l'ensemble { u1 , u2 , ... , uk } = { z1 , z2 , ... , zq } \ { t1 , t2 , ... , tm }
    il suffit donc de determiner la valeur positive qui correspond à V* puis appliquer la soustraction usuelle 1 - V*

    on recherche donc la valeur de W = X . Y elle correspond à un ensemble que l'on doit determiner et que l'on note:
    { w1 , w2 , ... , wl }
    on obtiens: { w1 , w2 , ... , wl } = { x1 , x2 , ... , xp } \ { t1 , t2 , ... , tm }

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  2. #2
    Médiat

    Re : Algebre de Boole sur un ensemble infini et valeur de vérité

    Doublon et double pseudo, deux choses formellement interdites = fermeture !

    Médiat, pour la modération
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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