a propos de la bijection

[invitedb62ad41]

bonjour
j'ai un petit problème concernant la bijection
on sait qu'une fonction continue et strictement monotone est bijective
l'inverse n'est pas toujours vraie , mais on a le théorème suivant : toute fonction continue par morceaux et strictement monotone est bijective.
est ce que ce théorème est toujours applicable et dans quel cas on a l'équivalence entre la bijection et la continuité et monotonie . par exemple si on prend une application a la place de la fonction , est ce qu'on a l'équivalence
merci.
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[inviteab2b41c6]

Bonjour,
je ne suis pas convaincu par ce que tu racontes. Quand on parle de bijectivité on doit toujours parler des ensembles de départ et d'arrivée.
Si on ajoute des hypothèses assez naturelles alors on devrait effectivement avoir ce que tu dis.

Je ne saisis pas bien ta question parce que je pense que toi même tu ne sais pas ce que tu veux avoir.
En gros la stricte monotonie te donne l'injectivité (le fait de ne pas avoir une image pour 2 éléments distincts).
La monotonie + la continuité t'assure de pouvoir utiliser le théorème de la valeur intermédiaire. Ce théorème te donne la surjectivité (la possibilité d'atteindre tous les éléments de l'ensemble d'arrivée).

Avec ces conditions tu peux toujours avoir bijection à condition de bien recoller les intervalles sur lesquels tu travailles. En fait, on peut presque toujours avoir une bijection si on élimine les "intervalles" (ou ensembles) qui nous embettent.
La fonction x->x^2 n'est pas bijective sur R mais elle l'est sur R+. En enlevant R- c'est comme si on la rendait bijective.

C'est pour cela que je dis qu'on peut toujours rendre une fonction bijective en enlevant les intervalles qui nous embettent ou en ajoutant quelques hypothèses naturelles.