Problème après réduction d'ordre (équadiff)

[invite8c935645]

Hello,

J'ai un problème avec une équadiff que je ne parviens pas à résoudre complètement :
y'' = y' (2 + y' tg (y))
Je fais une réduction d'ordre : je pose z(y(t)) = y'(t)
et y'' (t) = (dz/dy).y' = z'z
que j'injecte dans l'équation de départ ce qui donne :
zz' = z(2 + z tg (y))
Je simplifie par z (on perd donc les solutions constantes pour y) et on a :
z' = 2 + z tg (y)
Et là, je pensais simplement utiliser la méthode des variations des constantes et je résous l'équation homogène etc. Seulement, quand j'injecte la solution de l'homogène (z = - C cos (y) où C = constante) dans z' = 2 + z tg (y) , il n'y a pas simplification des constantes C (à cause d'un signe -) et donc, je ne peux pas isoler C ' afin de déterminer ce que vaut C et trouver alors la solution particulière ...
S'il vous plaît, quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur le fait qu'il n'y a pas simplification des constantes C ?
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[invite63e767fa]

La solution de l'homogène est z=C/cos(y) et non pas z=C cos (y)

[invite63e767fa]

Une autre méthode qui, bien sûr, conduit au même résultat :
(indication sommaire, à compléter et justifier...)
y'' = y' (2 + y' tg (y))
y''/y' = 2 + (sin(y)/cos(y)) y' que l'on intègre :
ln(y') = 2t -ln(cos(y)) +constante
y' = C exp(2t)/cos(y)
cos(y) y' = C exp(2t) que l'on intègre :
sin(y) = (C/2) exp(2t) + constante
y = arcsin( C' exp(2t) +c)
avec C'=C/2

[invite8c935645]

Je trouve vraiment bien ta 2e méthode. C'est plus élégant et plus rapide ^^ Merci !

Et pour la solution homogène z = C / cos y , ça fonctionne : il y a simplification des constantes Mais j'aimerais comprendre pourquoi z = C / cos y fonctionne tandis que z = - C cos y ne fonctionne pas parce que pour moi, ça devait être la même chose grâce aux propriétés de ln.
L'homogène nous donne : z'/z = tg y qu'on intègre, ce qui donne :
ln z = - C ln|cos y| = C ln|1/ cos y|
et puisque ln est injectif sur R, on peut simplifier les ln.
Donc, z devrait être égale aussi bien à -C cos y qu'à C / cos y , non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Mais j'aimerais comprendre pourquoi z = C / cos y fonctionne tandis que z = - C cos y ne fonctionne pas parce que pour moi, ça devait être la même chose grâce aux propriétés de ln.
L'homogène nous donne : z'/z = tg y qu'on intègre, ce qui donne :
ln z = - C ln|cos y| = C ln|1/ cos y|
et puisque ln est injectif sur R, on peut simplifier les ln.
Donc, z devrait être égale aussi bien à -C cos y qu'à C / cos y , non ?

Ca ne fonctionne pas parce que c'est faux. Et pas un petit peu faux, mais carrément faux !
Bon, en fait, rien de bien grâve, mais on peut plaisanter non ?
Sérieusement maintenant, voilà l'explication :
z'/z = tg y jusque là, tout va bien. eE on intègre :
ln|z| = -ln|cos y| +C
et non pas = - C ln|cos y| , ce qui est très différent et dont les conséquences sont les expressions fausses.

[invite8c935645]

Si j'avais continué à faire ce "rien de bien grave", ça aurait été très grave ^^
Tout est clair maintenant Un grand merci à toi !