salut,
j'ai un exo de spé maths, cela fait toutes les vacances que je lutte dessus,mé je n'arrive pas:
p et q sont deux entiers naturels
n=10p+q
n'=p+2q
Montrer que n est divisible par 19 si et seulement si n' est divisible par 19
merci d'avance pour votre aide
Toutes les vacances ? Tu as donc du déjà faire quelque chose...
é oui, si on a 19 qui divise n ssi 19 divise n', alors il faudrait prouver que si 19 est divisible par n*n' alors il est divisible par n et n', mais le truc c'est qu'on trouve n*n'=10p²+21pq+2q² et par récurrence on ne peut pas montrer que c'est divisible par 19, dc je suis bloquer.
Après j'ai essayé de faire une sorte de système en remplacant les p et q de l'un dans l'autre formule, mais sa ne marche pas, car après on trouve des truc qui ne veulent rien dire.
Et, j'ai essayer de prouver juste que 19 est divisible par n', mais on est bloquer car par récurrence on doit prouver que 19 est divisible par p+2q+1 et on ne peut pas.
Et enfin, j'ai essayé 19 divisible par n+n', mais cela nous avance pas à grand chose donc voila, je ne sais plus quoi faire....
Salut,
Exprime n en fonction de n' et de q.
Par le théorême de Gauss tu pourras montrer directement que si 19 divise n alors 19 divise n'.
Tu auras ainsi montré 19|n => 19|n'
Pour finir l'exo il faut aussi montrer 19|n' => 19|n mais là je ne vois pas trop
Si, en fait c'est exactement pareil. Exprime n' en fonction de n et de p et applique le même raisonnement.
ouai mais le truc c'est qu'on a pas encore vu le théorème de gauss...
on trouve : n=10n'-19q
et n'=2n-19p
et d'après le th de gauss on devrait montrer que 19 est divisible par n*n' ? mais le problème c'est comment montrer que 19 est divisible par 20nn'-190dn'-38un+361du ??
ou alors par 10p²+2q²+21pq
j'avoue que je ne comprend pas grand chose...
C'est très bien.Envoyé par kouki
Mais peut-être qu'un but de ton DM est justement de te faire démontrer ce théorême !
Le théorême de Gauss dit que si a divise bc, et si a est premier avec b, alors a divise c. Le mieux que tu aies à faire est de démontrer ce théorême pour ton exercice (c'est très court, ça se fait avec l'identité de Bézout). Je ne vois pas de moyen plus rapide d'y arriver.
En détail :
Soit (1) la proposition : 19 divise n
Et (2) : 19 divise n'
Montrons que (1) implique (2) :
n=10n'-19q comme tu l'as écrit.
Si 19 divise n alors n s'écrit 19k, k entier relatif
Ainsi on a : 19k = 10n' - 19q
Soit : 19(k+q) = 10n'
D'où 19 | 10n'
Et par le théorême de Gauss, 19 | n'
Conclusion : (1) => (2)
Montrons que (2) implique (1) :
n'=2n-19p
Si 19 divise n' alors n' s'écrit 19k
19k = 2n - 19p
D'où 19(k+p) = 2n
donc 19 | 2n
et donc 19|n par le théorême de Gauss
Conclusion : (2) => (1)
On a (1) => (2) et (2) => (1)
Donc (1) <=> (2)
Donc 19 divise n si et seulement si 19 divise n'
ah ok j'ai compris, en faite on est pas obliger de montrer par récurrence que 19 divise n, c'est pour cela que je bloquait...
en tout cas merci beaucoup beaucoup de m'avoir aider, car j'avais rien compris ...
Salut!
On peut le faire sans utiliser le théorème de Gauss !
On suppose que n est divisible par 19. On a n' = 2n-19p. 19 divise n, 19 divise 19 donc 19 divise toute combinaison linéaire de 19 et de n c'est-à-dire 19 divise n'. On procède de même pour n. Et on en déduit l'équivalence.
Je pense qu'il doit plutôt raisonner comme cela vu qu'il n'a pas encore vu le théorème de Gauss.
Arf, oui, c'est mille fois plus simple, merci à toi !
Je crois que j'ai trop réfléchi sur ce coup là
