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Étude des fonctions



  1. #1
    Recof

    Étude des fonctions


    ------

    Bonjour,
    Je bloque sur un exercice que voici:

    Soit a un réel fixé et fa la fonction définie par : fa=(a+arcsin(x))*(racine((1+x)/(1-x))).
    A) Démontrer l'équivalent au point 1 a gauche : arccos (x) ~ racine(2(1-x))
    B) Donner, pour tout a € R le domaine de définition de fa et calculer lim(x->1)fa(x). Discuter selon les valeurs de a la possibilité d'un prolongement par continuité en 1
    C) Étudier la dérivabilité de fa et démontrer que la fonction fa est solution sur ]-1,1[ de lequation différentielle :
    (1-x^2)y'-y-(1+x)=0


    A) Je pose y=arccos(x) et ensuite je troue facilement l'equivalence, cela semble correct.
    B) Je ne trouve pas la limite de fa... Si l'on pourrait m'aider, le domaine de définition est [-1,1[.
    Et pour le prolongement par continuité je pose Pi/2 - arccos(x) = arcsin (x) puis avec l'equivalence de la A j'en déduis que le prolongement est possible pour a=-Pi/2, est-ce correcte?
    C) Je bloque complètement, je pense a l'application des théorèmes sur le produit et la composition des dérivées mais sans pouvoir l'appliquer.
    Merci d'avance pour votre aide.

    -----

  2. #2
    Tryss

    Re : Étude des fonctions

    Il faut prendre par étapes :



    La limite est donc facile à calculer si

    Si , on va chercher un équivalent à en 1. C'est ici qu'intervient la question A (avec la transformation -pi/2+arcsin(x) = -arccos(x) )

    Pour la question C, il "suffit" de dériver. Ca n'est pas compliqué mais il faut être méthodique (commencer par dériver le quotient, puis la racine du quotient et finalement le produit )

  3. #3
    Recof

    Re : Étude des fonctions

    Merci beaucoup pour votre réponse.

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