Quaternions et Octavions

[invite6b72b336]

au milieux de toutes ces questions mathématiques scolaires, j'ai entendu parle il y a quelques temps des quaternions et octavions (je crois bien) qui sont des nombres a 4 et 8 dimensions, comme les complexes le sont a 2
je me demandais dans quel cadre (a quelles fins) ont-ils ete créés
de plus, j'ai cru comprendre qu'on ne pouvait en inventer que de 2ⁿ dimensions, et pas de 3, 5 ou meme 6 dimensions : comment arrive-t-on a cette conclusion ? comment se fais-ce ?? (et surtout, quelles lois mathematiques restreignent la "creation" de ces nombres sans "paradoxes" ?)
merci !
-----

[invite6b72b336]

je precise mes questions :
- dans quel but precis ces nombres ont-ils ete crees, et quelles avancees ont-ils permis ? (je ne connais que peu les matrices, au cas ou ca vous viendrait a l'idee de m'en parler ! )
- quelles regles / proprietes / incoherences ne permettent pas d'inventer des nombres a 3, 5, 6, 17 dimensions ?
( - a qui ces nombres peuvent-ils bien servir ??? hehe et dans quels domaines, pour quel genre de problemes ?)

[inviteab2b41c6]

Bonjour tout d'abord.
En fait, on peut créer des nombres "à une dimension quelconque", il n'y a aucun problème. Mais on ne peut trouver des liens "intéressants" que si ces nombres ont une "dimension" qui vaut 1, 2 ou 4. (réels, complexes, quaternions)
L'ensemble de ces nombres est un corps, c'est à dire que l'on peut faire tout ce que l'on veut comme dans R (diviser, multiplier etc).
On va avoir un problème avec les quaternions, c'est que la multiplication n'est pas commutative, c'est à dire qu'en général on a pas xy=yx. Celà signifie que la division n'a de sens que si l'on divise à gauche ou à droite, mais en général, diviser n'existe pas.

Les quaternions servent à appréhender un monde en 4 dimension, ils servent en ballistique notamment. Sinon ils sont toujours utiles en maths pures, évidemment.
A+

[invited5b2473a]

Ils servent aussi en mécanique quantique, je crois.


Il existe aussi les sedenions, nombre à 16 dimensions!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b72b336]

est-ce que les octavions et sedenions ne sont utilises que parce qu'ils ont une dimension 2ⁿ, et le sont-ils vraiment ?
a quel niveau en MQ ??

Quinto, tu dis :

En fait, on peut créer des nombres "à une dimension quelconque", il n'y a aucun problème. Mais on ne peut trouver des liens "intéressants" que si ces nombres ont une "dimension" qui vaut 1, 2 ou 4. (réels, complexes, quaternions)

qu'appelle tu liens "interessants" ? quelles sont ils ? (juste quelques exemples !)
et pourquoi la multiplication non commutative pose-t-elle probleme ? c'est aussi le cas pour les matrices non ?

[invite7f2cba89]

je te conseille la lecture des quelques articles reliés à celui-ci:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hypercomplexe

[Bleyblue]

C'est amusant, je me posais aussi la question : pourquoi des nombres de dimensions 2, 4, 8 mais pas des de dimensions 3, 5, 6 ...

Et alors à partir de la dimension 2 (les complexes) on ne peut plus comparer deux nombre apparament ? Ca n'a pas de sens de dire que qu'un certain complexe (a + bi) est plus grand ou plus petit qu'un autre complexe (c + di) ...

[moijdikssékool]

C'est amusant, je me posais aussi la question : pourquoi des nombres de dimensions 2, 4, 8 mais pas des de dimensions 3, 5, 6 ...

pourquoi des multiples de 2? peut-être que ca demande moins de taf de prendre 2 espaces de dimensions 2n-1 pour former un espace de dimensions 2n que d'en rajouter 5 à un espace de 57 dimensions. Commencons par des choses simples

Et alors à partir de la dimension 2 (les complexes) on ne peut plus comparer deux nombre apparament ? Ca n'a pas de sens de dire que qu'un certain complexe (a + bi) est plus grand ou plus petit qu'un autre complexe (c + di) ...

tu compares d'abord les premières entre elles et si elles sont égales, tu compares les 2èmes

[Bleyblue]

tu compares d'abord les premières entre elles et si elles sont égales, tu compares les 2èmes

Les premières et les 2èmes quoi donc ? Tu parles des parties réeles et imaginaires des complexes ?

merci

[inviteab2b41c6]

On parle des coordonnées.

[Bleyblue]

Ah bon ...

[invite4793db90]

Salut,

c'est l'ordre lexicographique, c'est-à-dire l'ordre alphabétique: a+ib<c+id si a<c ou si a=c et b<d.

Il n'existe pas d'ordre sur C qui prolonge l'ordre de IR, mais comme tu le vois on peut néanmoins y coller un ordre.

Pour ce qui est des algèbres de dimension 3, 5 etc., Hurwitz a démontré que les seules algèbres telles que la multiplication par une unité soit une isométrie sont celles pour laquelles la dimension est 1, 2, 4 ou 8.

Cordialement.

[Bleyblue]

Ah bon, c'est plus clair ... merci

[invite4e5046fc]

En voici ce qui éclaire les choses ..
cependant , ça n'apparaît pas si évident .. Comment donc a-t-il procédé ?

[BioBen]

dans quel but precis ces nombres ont-ils ete crees,

Les complexes te permettent de faire des rotations dans le plan simplement, les quaternions te permettent de faire pareille dans l'esapce.
Va voir dans les premiers sujets du forum "Revision" tu verras il y avait quelques exos pour "s'initier" aux quaternions.

[invite4793db90]

En voici ce qui éclaire les choses ..
cependant , ça n'apparaît pas si évident .. Comment donc a-t-il procédé ?

Il s'intéressait à la représentation d'entiers sous forme de sommes de carrés.

Tout est là. Enjoy!

Précision: le théorme de Hurwitz vaut pour les algèbres normées associatives (en particulier les sélénions, dimension 16, sont écartées d'entrée): Adams a néanmoins démontré que le théorème valait encore pour les algèbres non-associatives.

Cordialement.

[invite6b72b336]

merci a tous !!