[Maths sup] Deux questions d'analyse

[Scior]

Bonjour à tous,
Je travaille en ce moment sur les deux exos suivants:

• L'énoncé du premier serait:" Soit continue telle que
  Montrer que : "
  Et je ne sais pas du tout comment procéder...
  
  
• Pour la deuxième, c'est plus simple, mais je ne sais si ma solution est assez rigoureuse (voire correcte):
  " Soit f définie et continue I = ]a;b[ telle que . Montrer que f n'est pas injective. "
  
  Mon raisonnement était le suivant: cela ressemble au théorème de Rolle, on a "presque" deux valeurs de l'intervalle considéré telles que f(a)=f(b), donc nécessairement la dérivée s'annule en un point au moins de l'intervalle, donc la fonction change de monotonie: elle ne peut donc pas être injective sur l'intervalle considéré. Ceci serait une espèce d'"extension" du théorème de Rolle quoi...

Arf. En écrivant ces lignes, je me souviens tout à coup que ce théorème ne s'applique qu'à des fonctions dérivables sur l'intervalle considéré (logique en même temps ><). Echec.

D'avance merci pour vos pistes ou commentaires à ce(s) sujet(s)
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[Tiky]

Bonjour,

Pour le premier exercice, j'ai une solution si la fonction est en plus dérivable et de dérivée intégrable en s'inspirant des sommes de Cèsaro. Je ne vois pas comment faire avec seulement l'hypothèse de
continuité. As-tu un contexte pour cet exercice (un chapitre) ?

Pour le second exercice, distingue le cas où la limite et finie ou non. Ensuite il suffit d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

[Tiky]

Bon j'ai finalement une solution pour le premier exercice mais elle est un peu technique. Je te la donne mais il faudrait trouver la démonstration attendue en réalité.

L'idée est de s'inspirer très largement de la démonstration du théorème de Cèsaro.
Soit donné. Je pose la partie fractionnaire de x.



Or et comme f est continue, elle est bornée sur . On en déduit que et

Il existe un rang tel que pour ,

Il existe aussi un rang tel que ,

On pose alors .

Donc en découpant la somme pour :


Le premier terme tend clairement vers 0 puisque f prend ses valeurs dans un segment indépendant de x, on peut majorer le numérateur par une constante indépendante de x (car f est continue).

On dira donc que pour ,

On a aussi

Et voilà. Il y a peut-être des erreurs

[Garf]

J'essaie de la rédiger mieux (même si, fondamentalement, rien ne change).

Soit . Par hypothèse, il existe un réel (que, par simplicité, on va supposer être un entier naturel) tel que, pour tout , on a . Alors, pour tout , on peut écrire :



Par continuité de , la fonction est bornée inférieurement, disons par un réel .

En divisant par , on obtient :



Le membre de droite tend vers quand tend vers . Donc, pour tout x suffisamment grand, on a . De la même façon, on montre que pour tout suffisamment grand, on a . Ceci étant valable pour tout , on a le résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Merci pour la rédaction plus courte.
J'ajoute que le résultat est évidemment toujours valable pour une fonction continue par morceaux sur un voisinage de l'infini.