Piste pour limites

[invite48ca7510]

Bonsoir à tous,

je cherche une piste pour résoudre deux limites, quand x tend vers 0.
Ce sont : (cos(x)+sin(x))^(1/x) et (ln(cos(x)))/x² ...

Merci d'avance, je suis totalement bloqué !
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[Tiky]

Bonsoir,

Pour , fais un développement limité en 0 du dénominateur (à l'ordre 2).

Pour l'autre limite, on peut déjà remarquer que sur un voisinage de 0, , donc on se ramène à déterminer la limite de :

Il suffit de faire encore un développement limité.

[inviteea028771]

Et les hommes inventèrent les développements limités

Pour la première, tu écris ta fonction sous forme e^(1/x*ln(cos(x)+sin(x)) ), puis tu fais d'abord le DL de cos(x)+sin(x), puis le DL du logarithme, et ça se simplifie bien
Pour la seconde, le DL du cosinus à l'ordre 2, puis le DL du logarithme, et ça se simplifie bien aussi

Normalement tu devrais trouver une limite égale à e pour la première, et égale à -1/2 pour la seconde

[invite48ca7510]

Bonsoir, et merci de vos réponses !

Mais hélas, je ne suis qu'en 1ère année de PTSI, je viens de rentrer (hier) et je n'ai donc pas encore vu les DL...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Alors as tu vu la règle de l'Hôpital?

[invite48ca7510]

C'est la règle qui dit que la limite quand x tend vers a (un réel) de f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a) ?

[inviteea028771]

Oui, avec ça c'est possible de trouver les limites que tu recherches (en connaissant en plus la limite de sin(x)/x)

[invite48ca7510]

Qui vaut 1 en 0.

Je vais essayer et je vous tiens au courant !

Merci en tout cas !

[Médiat]

Pour la deuxième, on peut aussi écrire

[invite48ca7510]

Bonsoir,

comment passez-vous de la deuxième à la troisième égalité ?

Pour la première, je suis toujours bloqué.... Comme l'a dit Tryss, j'ai regardé sur Géogebra, et je devrais bien trouver e pour la première et -1/2 pour la deuxième.

[inviteea028771]

comment passez-vous de la deuxième à la troisième égalité ?

Pour la première, je suis toujours bloqué....

Alors avec la règle de l'Hôpital :



On va s'intéresser à la limite de

On dérive en haut et en bas pour appliquer la règle de l'hopital, et on obtient :


De là, on en déduit la limite de f

[invite48ca7510]

Merci, et ... Merci !!!

Il faut avoir l'idée, et vous l'avez eu ! J'ai bien compris : je vais devoir beaucoup m'entrainer ! ^^

Merci encore !

Bonne soirée à vous et à très bientôt !