Solutions de deux exercices

[invite2ef7f8f5]

Bonsoir,
Ce matin j'ai eu un examen en maths. Le prof nous a sorti des trucs pas du tout évident pour mon niveau faible en maths. Je suis en Médecine I. Voici les exercices si vous pouvez m'aider à les résoudre:

Exercice 1

Pour toute fonction de R² vers R de classe C², on appelle laplacien de f l'expression:

∆f=∂²f/∂x² + ∂²f/∂y².

Calculer ∆f en coordonnées polaires.

Exercice 2

Calcul de ∑sink(x) (En haut de somme n et en dessous k=1)

Calculer, pour tout n € N* et x € R, Sn(x)= ∑sinkx, en exprimant 2sinx/2Sn(x). (En haut de somme n et en dessous k=1)
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[albanxiii]

Bonjour,

Ce sont des choses classiques...

Qu'avez-vous fait et où bloquez-vous ?

[invite2ef7f8f5]

J'ai finalement réussit le premier exercice je pense.
Voici comment j'ai procédé
Les coordonnées sont (x;y) donc on détermine x et y.
x=rsin(têta) avec têtal'angle entre les deux axes x et y.
y=rcos(têta)
Puis je détermine tan(téta) puis Arctan(tan(téta)).
Ensuite je calcule ∆f.

Pour le deuxième exercice je ne sais pas du tout comment faire.

[albanxiii]

Re,

Il y a une chose que je ne comprend pas. Habituellement le repère (j'ai intiuté que vous travaillez dans le plan, à 2D) est orthonormé, donc l'angle entre les axes et est fixe et vaut .

Moyennant cela, vos expressions de et sont correctes, par contre, vous n'avez rien pour ... Que vaut ?

Ensuite, pour calculer comment faites-vous ?

Pour le second exercice, je vous donne une indication : considérez votre somme comme par partie imaginaire d'une autre somme....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ef7f8f5]

Bonsoir,
Exactement j'ai pensé la même chose. Généralement le repère est orthonormé. Mais en considérant Pi/2, on obtient y=0 car cos(Pi/2)=0. Donc là ça bloque. Donc je suppose que l'angle entre les deux axes peux avoir n'importe quel valeur telle que 0<Téta<Pi. A partir de là je peux avoir x et y.
Donc j'ai x=rsin(têta) et y=rcos(têta)
Ensuite je détermine tan(téta) parce que cela me permet d'éliminer "r", puis je détermine Arctan(tan(téta)) pour ne plus avoir tan(x/y) et j'obtiens:

Arctan(téta)=x/y. J'obtiens donc ma fonction à partir de coordonnées polaires et il m'est facile de calculer ∆f.

Pour le second exercice, je ne sais pas du tout comment m'y prendre. J'ai vu sur internet qu'il fallait utiliser des propriétés sur les nombres complexes mais je n'ai pas trop compris. Si vous pouviez m'expliquer. (Je suppose vu votre que vous devez être professeur de maths ou un truc dans le genre...). Une démonstration serait la bienvenue pour un bleu en maths comme moi.

[albanxiii]

Re,

Non, l'angle entre et est fixe, il vaut et ne bouge pas !!!

Vous repérez un point dans le plan par ses coordonnées et , ou alors par sa distance par rapport à et l'angle .

Voir le schéma joint (il faut attendre un peu qu'un modérateur valide la pièce jointe).

Avec le schéma vous comprendrez tout de suite.

Vous dites, qu'il est facile ensuite de calculer ... Très bien, mais dites moi comment vous faites. Vous pouvez faire les premières étapes du calcul sans connaître tous les détails du passage entre les deux systèmes de coordonnées. Je veux voir si vous partez bien dans la bonne direction....

Pour le second exercice, puisque vous ne voyez pas, j'essaye de vous donner une indication supplémentaire sans vous donner la solution..... Que vaut ? Et ensuite, que vaut ?

[invite2ef7f8f5]

Merci, pour l'explication. Je verrai l'image lorsqu'elle sera validé.
Pour calculer ∆f, je détermine la dérivé partiel seconde en x puis en y et je fais la somme.
Au fait j'ai fait une erreur, c'est plutôt: y=rsin(têta) et x=rcos(têta). On a têta=Arctan(y/x)

Voici ma résolution de l'exercice:

∆f=∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²

Calculons ∂²f/∂x² puis ∂²f/∂y²:

La dérivée de Arctan(u(x))= 1/(1+u²(x))

∂f/∂x= (-y/x²)/(1+(y²/x²))= -y/(x²+y²)

∂²f/∂x²= 2xy/(x²+y²)²

∂f/∂y= (1/x)/(1+(y²/x²))= x/(x²+y²)

∂²f/∂y²=-2xy/(x²+y²)²

∆f=∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²

∆f=0

Exercice 2

exp(ikx)= cos(kx) + isin(kx)

La somme de exp(ikx)= la somme des (cos(kx) + isin(kx))

[taladris]

On fait des maths en première année de médecine maintenant? A mon époque, cela se bornait à des statistiques.

Tu fais tes études en France?

[albanxiii]

Bonjour Jlou-kun,

Votre calcul de laplacien est faux. Il ne vaut pas 0... d'ailleurs, pour vous en convaincre, est-ce que est nul lui même pour n'importe quelle fonction ?

Pour commencer le calcul, vous devez calculer en fonction des variables et ... Donc, calculer



Et ensuite, vous recommencer une fois pour la dérivée seconde et même punition pour la varialble ..... Ca n'est pas vraiment compliqué, mais c'est pénible et il faut faire attention aux erreurs d'étourderie....

Pour la seconde question, votre réponse n'apporte rien de nouveau Si vous écrivez , vous ne reconnaissez rien ? Pensez aux types de suites classiques que vous devez avoir vu au lycée.... et à la somme de leurs termes consécutifs.

[invite2ef7f8f5]

Taladris non je n'étudie pas en France.
Je vais étudier tout cela et je vais posté ma compréhension je vais refaire les deux exercices et on verra.
Merci.

[albanxiii]

Re,

C'est quand même terrible de devoir de fader ce genre de truc pour faire médecine.... bref....

N'y passer pas des nuits non plus. Cherchez, raisonnablement, n'hésitez pas à faire des pages de calculs....

Et vous pourrez trouver une solution avec les calculs sur cette page : Systèmes de coordonnées : http://www.sciences.ch/htmlfr/algebr...ectoriel01.php
Comme elle est très longue, il faudra que vous recherchiez "système de coordonnées polaires", "système de coordonnées cylindriques" pour avoir les expressions et les relations entre les variables , , et .
Puis "Laplaciens d'un champ scalaire" détaille le calcul du laplacien dans les divers systèmes de coordonnées.

S'il y a des difficultés, n'hésitez pas à revenir poster.