Inéquation

[invite7eed2b83]

Bonjour j'ai une inéquation à résoudre mais je ne suis pas sure de mon résultat, pourriez vous vérifier?
La voici:

2cos(téta) + sin(téta) < 2
je met racine de 5 en facteur et j'obtiens:

(2/(racine5))cos(téta) + (1/(racine5)) sin(téta) <2/(racine5)

on pose 1 appartient à [0;2]
tel que sin(téta1)=(1/(5))
et cos(téta1)= (2/(5))

donc on obtient ensuite: cos(téta - téta1) < 2/5

on pose téta2 appartient à [0;2] tel que cos(2)= 2/5


donc on obtient téta< téta1 +téta2 + 2kpi

ou téta< téta1 -téta2 + 2kpi

mais je ne vois pas quel ensemble cela représente?

Merci d'avance
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[inviteea028771]

Tu peux aussi, découper l'intervalle d'étude.
Déjà remarquons que c'est 2pi periodique, il suffit donc de résoudre l'inéquation sur [0,2pi] pour obtenir toutes les solutions par translation.

L'inéquation est vérifiée pour tout , (facile à démontrer puisque le sinus est négatif)

Reste a étudier sur [0,pi].

pour

On s’intéresse à l'équation suivante :
ou

Donc ou
Et comme ou

Comme la fonction est continue, ou (exclusif)

Il suffit ensuite de prendre et de remarquer que pour savoir dans quel cas on se trouve.

Ainsi,

[invite7eed2b83]

D'accord, merci beaucoup mais il y a ^plusieurs chose que je ne comprends pas:

- qu'est qui vous permet de dire que le sinus est négatif ?
- et ja ne comprend pas non plus comment vous arrivez à définir ces intervallespour téta appartient [0;pi]

par contre je vais essayer de refaire la même chose pour téta appartient à [pi;2pi]

Merci d'avance

[invite7eed2b83]

Je crois que j'ai compris pourquoi sin téta est négatif , en faite on pose ca pour pouvoir résoudre sur [pi;2pi], voila ce que j'obtiens:

je met tout dans un seul membre:
0<2 -2cos(téta)-sin(téta)
on pose cos(téta)=x
0<2-2x-racine(1-xcarré)
racine(1-xcarré)<2-2x
1-xcarré< 4+4xcarré
0< 5xcarré +3
-3/5 < xcarré
-3/5 < x < 0

donc téta appartient à ] cos-1(3/5 ; 0]

voila ce que j'obtiens et je voulais aussi vous demander:
-et je ne comprend pas non plus comment vous arrivez à définir ces intervalles pour téta appartient [0;pi]
-et est ce que je peux rédiger de cette facon en posant f(x), et est ce que sur une copie je peux écrire cos^-1(-3/5) ?


Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]