Noyau d'un endomorphisme avec EDL.

invitedb595c58 · 10/09/2011, 15h23

Bonjour,
Alors voila je suis bloqué sur un exercice qui est le suivant :
Déterminer le noyau de $\text{[math]}$ : pour cela on pourra résoudre une équation différentielle vérifiée par la fonction polynôme P sur ]-1,1[.
$\text{[math]}$
De Rn[X] dans Rn[X].

Alors voilà, déjà je voudrais savoir si l'équation différentielle a résoudre est bien $\text{[math]}$
Et si il y aura des choses particulières (tant qu'à demander).
Et je voudrais savoir comment expliquer le passage d'une solution sur ]-1,1[ à une fonction polynôme?

Merci d'avance,
Cordialement,

**Tiky** · 10/09/2011, 15h27

Bonjour,

C'est bien l'équation différentielle demandée.
Pose simplement $\text{[math]}$ . Résous l'équation différentielle en identifiant les coefficients.

invitedb595c58 · 10/09/2011, 15h28

Merci beaucoup!

invitedb595c58 · 10/09/2011, 16h01

Il s'avère que j'ai toujours un problème.
Voila j'ai trouver que la solution de l'équation est $\text{[math]}$ .
Mais je ne sais pas quoi en déduire pour le noyau, ni comment utiliser la formule de Tiky..

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Tiky** · 10/09/2011, 16h42

Tu n'as pas compris ce que je te proposais de faire. Il faut résoudre l'équation différentielle en supposant que la solution est polynomiale :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

On trouve donc :
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

Une petite récurrence pour trouver les coefficients et voilà ! (calculs à vérifier évidemment).

invitedb595c58 · 10/09/2011, 16h46

Oh effectivement je n'avais pas compris.
Merci bien!

invitedb595c58 · 10/09/2011, 18h53

Bonjour,
alors voila j'ai un petit problème sur un exercice, le voici : Bonjour,
Alors voila je suis bloqué sur un exercice qui est le suivant :
1) Déterminer le noyau de $\text{[math]}$ : pour cela on pourra résoudre une équation différentielle vérifiée par la fonction polynôme P sur ]-1,1[.

$\text{[math]}$
De Rn[X] dans Rn[X].

2) L'application est-elle injective? surjective? bijective?

3) Pour tout k de 0 à n , on pose $\text{[math]}$
Démontrer que la famille Pk est une base de Rn[X]
Ecrire la matrice de $\text{[math]}$ dans cette base et retrouver ainsi les résultats du (c).

Donc je bloque dès la première question, je fais :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

On trouve donc :
$\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

Mais la je ne sais plus quoi faire :mur: .
La question 2) doit-être simple si nous avons la 1) mais pour la 3) j'aimerais aussi de l'aide.
Donc si vous pourriez me débloquer sur la 1) et la 3) ce sera vraiment gentil!

Merci d'avance,
Cordialement,
(Ce message a été déjà posté mais mon avancement est toujours nul...)

**Tiky** · 10/09/2011, 19h14

Bonjour,

Il est inutile (et non conforme à la charte) de faire des doublons. Qui plus est, ton énoncé est mal recopié dans celui-ci... Ensuite je te propose une méthode, qui fonctionne à coup sûr mais qui est lourde en calculs (qui sont peut-être bien erronés), il pourrait être préférable de procéder autrement.

Par exemple : $\text{[math]}$ . Comme il t'est conseillé, tu peux résoudre cette équation sur ]-1, 1[, et donc tu as le droit de diviser par $\text{[math]}$ . Supposons que P est un polynôme non-nul et n'est pas de racines sur ]-1, 1[.
Alors : $\text{[math]}$ sur ]-1, 1[.

Tu en déduis que $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . Comme P n'a pas de racine sur ]-1, 1[ par hypothèse, tu peux conclure.

invitedb595c58 · 10/09/2011, 19h26

Re-bonjour,
En faite dans celui-ci l'énoncé est au complet, sauf le P' manquant effectivement...
Et mon problème c'est que je bloque avec votre méthode "ancienne", celle-ci me convient et je trouve le résultat que je vous ai publié précédemment mais je n'arrive pas a interpréter... (Dans le cas ou n est pair et celui ou n est impair)

invitedb595c58 · 10/09/2011, 19h32

Ah oui c'est bon merci, quand n est impair $\text{[math]}$ et quand n est pair il n'est pas nul exact?

**Tiky** · 10/09/2011, 19h37

Non mon premier calcul est faux. L'idée est simple. Si P n'est pas le polynôme nul, alors il existe un segment non réduit à point $\text{[math]}$ contenu dans $\text{[math]}$ tel que P ne s'annule pas sur S.
On a donc l'égalité $\text{[math]}$ sur S. Mais comme P ne change pas de signe sur S puisqu'il ne s'annule pas et qu'il est continue, on en déduit, quitte à inverser le signe de la constante que $\text{[math]}$ sur S. Or P est au plus de degré n et il existe un unique polynôme de degré n passant par n points déterminés. Ici on a déterminé P sur une infinité de point... donc sur R.
Le noyau est donc $\text{[math]}$ .

**Tiky** · 10/09/2011, 19h43

Il fallait lire : un polynôme de degré au plus n qui passe par n+1 points est déterminé.

invitedb595c58 · 10/09/2011, 19h49

Un très grand merci pour votre aide!
Et sans vouloir abuser de votre temps, pourquoi pensez-vous qu'on me demande de distingués les cas n pair et n impair?

**Tiky** · 10/09/2011, 19h57

En fait j'ai fait une erreur grave à la fin. Bon je reprends depuis le début, sans erreur cette fois.
On cherche à résoudre $\text{[math]}$ . On suppose que P est non-nul et on considère un segment S non réduit à point, contenu dans ]-1, 1[ et sur lequel P ne s'annule pas.

On a donc $\text{[math]}$ sur S.
Donc $\text{[math]}$

D'où $\text{[math]}$ . On utilise le fait que P est continue et de signe constant sur S. Si n est pair, P est bien un polynôme et le noyau est engendré par $\text{[math]}$ . Si n est impair, c'est absurde et le noyau est nul.

Finalement ça concorde avec mon premier calcul mais c'est quand même plus simple.

invitedb595c58 · 10/09/2011, 20h18

Merci beaucoup! Je suis désole de ne pas avoir compris votre première méthode, peut-etre du a un manque d'expérience de ma part. Encore merci

Noyau d'un endomorphisme avec EDL.

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Noyau d'un endomorphisme avec EDL 1.

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