Bonsoir à tous .
J'ai une petite inégalité que je n'arrive absolument pas à démontrer :
Pour tt x appartenant [0,pi/2], sinx>=(2/pi)x .
Les cas d'égalités sont bateaux mais pour l'inégalité je ne sais pas d'où partir!!! ( car si on encadre sinx , il est entre 0 et 1 , et je n'arrive pas à la manipuler pr retrouver l'inégalité en question)
Merci pr votre aide
Sin est une fonction concave sur [0,pi/2], et comme tu l'as dit aux bornes il y a égalité...
je suis désolé mais je ne vois toujours pas pourquoi en montrant que sin est concave (cela veut bien dire que sin est en dessous de ttes ses tges en [O; pi /2] on prouve l'inégalité?
tu connais la définition d'un convexe?
c'est exactement cela, et ça te donne ton inégalité.
Pour montrer que ton sinus est concave (ie "l'inverse" de convexe), il suffit de constater que sa dérivée seconde est négative sur l'intervalle.
Plus simple : tu peux étudier la variation de sin(x) - (2/pi) x
bonjour
je propose une autre methode graphique
sinx est derivable en 0 et le dérivé vaut 1
la droite y=x est tg a sa courbe en 0
toutes les droites y=ax tel que a<1 vont couper la courbe de la fonction sinx pour une certaine abscisse t et on aura sinx>=ax pour x€[0,t] vous voyez
comme par exp y=(2/pi) qui va couper la courbe de sinx pour x=pi/2
donc
sinx>=(2/pi) x pour x€[0,pi/2]
as required
il me semble que ma methode n'est pas convaincante
non?
L'idée est là mais le "vous voyez" n'est pas une vraie démonstration. On a déjà vu... des illusions d'optique.
L'idée est là, c'est la concavité qui permet de justifier ton "vous voyez"
d'accord vous avez raison
je vous ai dit "vous voyez" car il s'agit d'une methode graphique
d'une représentation graphique a imaginer
u see what l mean
belle démo géométrique moi j'aurai attaqué avec l'analyse
slt !!
En fait la méthode géométrique me semble quelque peu compliqué .
Je suis plus habitué à la méthode analytique . Mais j'ai encore des difficultés ! J'ai étudié la différence f(x)= sinx-2/pix en dérivant cette fonction ( cosx-2/pi) . Mon premier pb est qd j'ai tracé f sur ma calculatice je ne la trouve pas positive sur [0,pi/2], je me suis trompé ?
Autre pb, cette fois ci qd j'ai tracé la dérivée je la trouve + sur [o,pi/2] et - sur [pi/2;0], ce qui me semble étrange !!
Merci de me sortir de ce mauvais pas !!!
en fait je dois avoir recours à une dérivée seconde , non ?
Bonjour,
Tu n'as pas besoin d'étudier la dérivée seconde. Je ne sais pas comment tu as programmé ta calculatrice, peu importe, mais la courbe deest bien positive sur
Pour t'en persuader, trace dans le même repère la fonction sin et la fonction qui à x associe
Maintenant passons à la démonstration.
Je ne vais pas tout te dire mais étudie le signe de f'(x) sur cet intervalle et déduis-en les intervalles où f est croissante ou décroissante. Puis en prenant la définition de la croissance et de la décroissance d'une fonction, en l'appliquant aux intervalles correspondants et en utilisant le fait que
en effet , en étudiant juste la dérivée je peux prouver que la fct est positive .
Merci pr votre aide
Au fait
Envoyé par Jeanpaul
Pas d'accord; la démonstration utilisant la concavité est beaucoup plus simple et agréable.
voila je propose une solution mais je ne sais pas si elle est bien ficellé et vrai:
Première analyse:*Soit f la fonction sinus définie et dérivable sur [0;pi/2]. La fontion sinus alterne une "phase concave et une phase convexe" sur R. Sur l'intervalle [0;pi/2] elle est concave donc toute ces tangentes se situent au dessus.
*Soit g la fonction x|--> 2x/pi qui est définies et dérivable sur [0;pi/2]. g'(x)=2/pi et 2/pi>0 Ainsi g est strictement croissante sur [0;pi/2]. De plus g est une fonction affine de la forme y=ax+b ou a=2/pi et b=0 ainsi sa tangente à pour équation celle de g et est confondue avec elle.
Etudes des tangentes entres elles au point d'abscisse 0:
*Au point d'abcsisse 0 la tangente à la courbe représentative de f à pour équation: y=f'(0)(x-0)+f(0) CAD y=x.
*Au point d'abscisse 0 la tangente à la courbe représentative de g a pour équation: y=2x/pi (vu au début)
MAintenant étudions la position des tangentes l'une par rapport à l'autre. Moi j'ai décider de faire la tangente à f par rapport à la tangente à g au point d'abscisse 0.
J'obtien donc:
x-2x/pi=pix-2x=x(pi-2)
Or *pi-2>0
* nous somme sur l'intervalle [0;pi/2] donc x>=0
Ainsi la différence est positive et par conséquent la tangente au point d'abscisse 0 à f et au dessus de la tangente à g.
Faire de même pour le point d'abscisse pi/2 et en déduire la même chose.
Par conséquent (je pense que l'on peut dire) f est au dessus de g.
CAD que g(x)=<f(x) donc que 2x/pi=<sinX
Ensuite il suffit de dire que:*l'image de x donnée par la fonction sinus est toujours inférieur ou égale à x. Ainsi on peut marquer:
sin(x)=<x
Et par conséquent en conclusion finale nous pouvons noter CQDF que:
2x/pi=<sin(x)=<x
Et voila j'espere que je vous aurais aider et moi aussi par la même ocasion ^^
bon surf à tous
arf je me suis juste trompé a un endroit la fonction n'est pas concave mais convex
L'idée d'étudier
Sa dérivée est
Donc la fonction initiale est croissante puis décroissante. Et comme elle est nulle en 0 et pi/2 => CQFD
