Calculer le cosinus d'une fraction de Pi
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Calculer le cosinus d'une fraction de Pi



  1. #1
    invitef45cc474

    Calculer le cosinus d'une fraction de Pi


    ------

    Bonjour,
    On apprend dès le collège les valeurs exactes des cosinus (ou sinus) des angles 'classiques' tels que Pi/2, Pi/3, Pi/6, etc... On peut alors se débrouiller pour trouver quelques autres valeurs en utilisant des formules de linéarisation, ou autres, mais comment peut-on trouver la valeur exacte du cosinus d'un angle quelconque de la forme Pi/k avec k entier? Je veux dire par là une méthode vraiment générale, qui marche pour tout entier k...

    Toute intervention sera appreciée!

    -----

  2. #2
    Bleyblue

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Salut,

    Je ne pense pas que ce soit possible en fait. On sait le faire pour certaines valeurs remarquables comme tu le dis, mais par exemple cos(Pi/23) eh bien ça reste comme c'est.
    On ne sait pas écrire ça de manière plus simple

  3. #3
    invite6b1e2c2e

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Bonjour,

    En fait, on sait qu'il n'y a que très peu d'angles constructibles à la règle et au compas (construire un angle = construire son cos par exemple). Et on sait qu'un nombre est constructible à la règle et au compas ssi on peut l'écrire avec un nombre fini de racines carrées de rationnels. (Bon, si un agrégatif ou un algébriste veut me corriger, qu'il n'hésite surtout, j'ai un peu peur de laisser passer quelques bétises...)

    Cela dit, tous les cos sont algébriques sur Q, puisqu'ils sont racines d'un polynôme de Tchebychev (là encore, je sais jamais comment ça s'écrit). Cela dit, ça ne te sert pas à grand chose de savoir ça, parce que Galois a démontré qu'on pouvait pas résoudre par radicaux les équations polynômiales de degré >= 5 en se ramenant à des groupes (dits de Galois, la nature fait bien les choses, non ? ) .

    Maintenant, je suis sûr que d'autres donneront des réponses plus précises.

    __
    rvz, vague, mais en week end

  4. #4
    invitef45cc474

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    En effet, s'il était possible de trouver les racines exactes de polynômes de n'importe quel degré, il serait alors facile de trouver cos(Pi/k): ça serait une racine du polynôme Pk(Pi/k)-1, où Pk est le kème polynôme de Tchebychev (enfin il resterait encore à savoir laquelle de ces racines est la bonne).

    Mais je pense malgré tout qu'il existe des méthodes assez générales pour trouver certaines valeurs exactes. J'ai par exemple un exercice dans lequel on me demande de calculer cos(Pi/15). Une idée?

    Merci en tout cas

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    martini_bird

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Citation Envoyé par supernico999
    En effet, s'il était possible de trouver les racines exactes de polynômes de n'importe quel degré, il serait alors facile de trouver cos(Pi/k): ça serait une racine du polynôme Pk(Pi/k)-1, où Pk est le kème polynôme de Tchebychev (enfin il resterait encore à savoir laquelle de ces racines est la bonne).

    Mais je pense malgré tout qu'il existe des méthodes assez générales pour trouver certaines valeurs exactes. J'ai par exemple un exercice dans lequel on me demande de calculer cos(Pi/15). Une idée?

    Merci en tout cas
    Pour certaines valeurs c'est jouable : 15=5x3 or est facilement calculable. Comme avec P du troisième degré on peut calculer (en faisant intervenir une racine cubique je pense : ne doit pas être constructible à la règle et au compas).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. #6
    invite6b1e2c2e

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Merci Martini
    En plus, je ne me souvenais plus trop comment calculer cos(Pi/5) explicitement, et du coup je viens de découvrir le lienhttp://jc.michel.free.fr/trianglepascal/cosinus.php
    qui parle précisément de comment calculer les cos(Pi/n), avec une méthode générale, ou presque.

    __
    rvz

  8. #7
    Bleyblue

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    J'ai raconté une bêtise ?

  9. #8
    martini_bird

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Non non.

    La plupart du temps on laisse les comme ça. Mais on peut se demander si peut s'exprimer avec des radicaux (c'est assez rare je pense).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  10. #9
    invitef45cc474

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    D'accord, merci en tout cas

  11. #10
    matthias

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Citation Envoyé par martini_bird
    Mais on peut se demander si peut s'exprimer avec des radicaux (c'est assez rare je pense).
    Ce qui serait intéressant c'est d'avoir une démo. Parce que le fait que toutes les équations polynomiales ne soient pas solubles par radicaux ne nous dit rien sur des équations particulières.

    Quoiqu'en y réfléchissant, c'est un problème équivalent à la constructibilité à la règle et au compas d'un polygône régulier, non ?

    Donc il suffirait d'invoquer le théorème de Gauss-Wantzel.

  12. #11
    matthias

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Arf, non j'ai dit une bêtise. J'ai confondu exprimable par des radicaux et constructible

    Bon, mais alors, comment montrer qu'ils ne sont pas tous exprimables par des radicaux ?

  13. #12
    invite636fa06b

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Bonjour,

    Ne peut-on pas poser le problème sous une forme un peu réductrice de la manière suivante ?
    Construire une table de sin (ou cos) de 0 à 90° (de degré en degré) à partir des valeurs particulières et des radicaux.
    Pour m'être essayé à cet exercice il y a fort longtemps, on y arrive presque à condition d'être capable de réussir la trissection de l'angle.
    Les idées : on connait 45°, 30°, 72° (construction du pentagone).
    Par addition, soustraction et division par 2 on arrive à 3°.
    Comme 3 est le pgcd de 45,30 et 72, on ne pourra pas descendre sauf à être capable de le "trissequer".
    On déduit donc de l'impossibilité de la trissection de l'angle que
    1 les cosinus de pi/k avec k= m * (2^p) où m est un diviseur de 15 sont constructibles à la règle et au compas et donc exprimables à l'aide de radicaux
    2 celles où k est divisible par 9 ne le sont pas
    3 il resterait à démontrer que les valeurs de k multiple de 25 ou d'un nombre premier >5 ne sont pas constructibles.

  14. #13
    martini_bird

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Salut,

    pour la constructibilité, le problème est règlé (théorème de Gauss-Wantzel, comme le dit matthias - k produit d'un nombre de Fermat premier et d'une puissance de 2).

    Mais pour l'expression en terme de radicaux (pas seulement carrés), il faut regarder les polynômes cyclotomiques : sont-ils résolubles par radicaux ? En d'autres termes, quand est-ce que le groupe de Galois d'une extension cyclotomique est résoluble ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #14
    invite8b04eba7

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Salut !

    Je ne comprend pas trop la notion de "expression en terme de radicaux" : une racine de l'unité, c'est, par définition, une racine (l'extension Q(cos(pi/k))/Q est trivialement résoluble par radicaux) ? Ou alors ce que vous cherchez, c'est une combinaison linéaire de racines ?

  16. #15
    invite8b04eba7

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Pour martini_bird, le groupe de galois d'une extension cyclotomique Q(exp(2i pi/n))/Q c'est (Z/nZ)*

  17. #16
    martini_bird

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Oui en effet, tu as raison doudache.

    Mais par ce biais on obtient par exemple une expression du genre



    C'est pas vraiment ce qu'on convoite.

    J'ai regardé pour le cas n=7 : j'écris le polynôme cyclotomique P(x+iy), je fais et je prends la partie réelle (on peut aussi prendre la la partie imaginaire divisée par y). sera donc solution de cette équation, à savoir . Je donne tout ça à manger à maxima et il me sort



    On est donc content, on a une expression par des radicaux. Est-ce toujours possible ?

    Autre question : peut-on se débarasser des pour ne pas avoir à extraire une racine cubique d'un nombre complexe ?

    Si je demande l'expression algébrique, maxima me donne



    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 17/06/2006 à 11h33.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  18. #17
    breukin

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    On a pi/15 = pi/6 – pi/10.
    cos(pi/15) est donc facilement calculable à partir des sin et cos de pi/6 et pi/10.
    Pour pi/10, on a sin(pi/10) = 1/(2.phi) (phi : nombre d'or)
    pi/15 est donc parfaitement constructible !

  19. #18
    martini_bird

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Salut et bienvenue,

    merci pour la correction.

    On a donc

    (ta valeur pour sin(pi/10) n'est pas correcte, tu as peut-être confondu avec cos pi/5)

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  20. #19
    breukin

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Ma valeur de sin(pi/10) est parfaitement correcte !
    phi = (5½+1)/2
    1/(2.phi)=(5½–1)/4
    c'est bien le sin de pi/10.

  21. #20
    breukin

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Et cos(pi/5) = phi/2

  22. #21
    martini_bird

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Citation Envoyé par breukin
    Ma valeur de sin(pi/10) est parfaitement correcte !
    Mea culpa
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  23. #22
    invite072a0b46

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    oui on peut calculer certains valeurs de cos des angles a parir des angles remarquables(pi/2,pi/3,pi/4 en appliquant la formule:cos(x)²=(cos(2x)+1 )/2)
    et ainsi de suite en peut calculer d'autr valeurs a partir de ces nouveaux cos obtenus par cette regle
    ex:calculer le cos de pi/8
    on a: pi/16=1/2*pi/8
    or; pi/8=1/2*pi/4
    donc: cos(pi/8)=rcine carree de ((cos(pi/4)+1)/2)

  24. #23
    invite4ef352d8

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Bon...

    Gal(Q[cos(Pi/n)]/Q) est toujours abélien donc c'est en effet toujour exprimable par radicaux. le problème c'est que "exprimable par radicaux" ca veut dire en faisant intervenir des racines n-ième de l'unité... et une telle expression est trivial : cos(Pi/n) = (exp(iPi/n)+exp(-iPi/n)) /2.


    donc la notion simple pertinente est bien à mon avi l'exprimabilité par radicaux... si on voulait une notion plus rafiné, je sugère d'autoriser uniquement l'extraction de racines n-iemme de réel positif... mais ca va beaucoup compliqué la théorie et je suis pas convaincu que ca donne plus d'angle exprimable (typiquement, cos(Pi/7) et cos(Pi/9) ne sont pas exprimable de cette facon...)

  25. #24
    invitedb2255b0

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Tu part du principe que
    Le nombre complexe

    Tu exprime ensuite ce nombre sous forme algébrique et comme son mondule est 1 tu obtient les valeurs exact de cos(pi/15), sin(pi/15) et tan(pi/15).

    De fil en aiguille on pourrais calculer les cos, sin et tan de pas mal de fraction de pi, mais je ne pense pas que cela puisse être généralisable.

  26. #25
    KerLannais

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Salut,

    Pour ce qui est de l'expression à l'aide de radicaux ou la constructibilité des je crois que les réponses ont été donnés. Je voudrais juste indiquer une méthode pour décomposer une fraction en une somme de fractions ont des dénominateurs plus petits. Exemple:

    c'est la même idée que pour la décomposition de fraction rationnelles en éléments simples, si et sont des nombres non nuls premiers entre eux alors le théorème de Bezout dit qu'il existe des nombres et tels que

    et donc pour tout nombre entier

    autrement dit, si on connaît et avec et premiers entre eux alors on connaît . En fait il en va de même pour la constructibilité (si on peut construire à la règle et au compas un étoile à k branches et à l branches avec k et l premiers entre eux alors on peut construire une étoile à kl branches)
    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  27. #26
    invite277d2ddf

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    J'ai un petit problème, je n'arrive pas à calculer cos3pi/16 à l'aide des formules d'additions.
    J'ai trouvé: 3pi/16=cos(pi/16+pi/8)

  28. #27
    breukin

    Re : Calculer le cosinus d'une fraction de Pi

    Il faut calculer en fonction de .
    Puis calculer en fonction de .
    Puis calculer en fonction de .
    En utilisant et .
    La dernière formule peut se calculer avec .

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