Bonjour,
On apprend dès le collège les valeurs exactes des cosinus (ou sinus) des angles 'classiques' tels que Pi/2, Pi/3, Pi/6, etc... On peut alors se débrouiller pour trouver quelques autres valeurs en utilisant des formules de linéarisation, ou autres, mais comment peut-on trouver la valeur exacte du cosinus d'un angle quelconque de la forme Pi/k avec k entier? Je veux dire par là une méthode vraiment générale, qui marche pour tout entier k...
Toute intervention sera appreciée!
Salut,
Je ne pense pas que ce soit possible en fait. On sait le faire pour certaines valeurs remarquables comme tu le dis, mais par exemple cos(Pi/23) eh bien ça reste comme c'est.
On ne sait pas écrire ça de manière plus simple
Bonjour,
En fait, on sait qu'il n'y a que très peu d'angles constructibles à la règle et au compas (construire un angle = construire son cos par exemple). Et on sait qu'un nombre est constructible à la règle et au compas ssi on peut l'écrire avec un nombre fini de racines carrées de rationnels. (Bon, si un agrégatif ou un algébriste veut me corriger, qu'il n'hésite surtout, j'ai un peu peur de laisser passer quelques bétises...)
Cela dit, tous les cos sont algébriques sur Q, puisqu'ils sont racines d'un polynôme de Tchebychev (là encore, je sais jamais comment ça s'écrit). Cela dit, ça ne te sert pas à grand chose de savoir ça, parce que Galois a démontré qu'on pouvait pas résoudre par radicaux les équations polynômiales de degré >= 5 en se ramenant à des groupes (dits de Galois, la nature fait bien les choses, non ?) .
Maintenant, je suis sûr que d'autres donneront des réponses plus précises.
__
rvz, vague, mais en week end
En effet, s'il était possible de trouver les racines exactes de polynômes de n'importe quel degré, il serait alors facile de trouver cos(Pi/k): ça serait une racine du polynôme Pk(Pi/k)-1, où Pk est le kème polynôme de Tchebychev (enfin il resterait encore à savoir laquelle de ces racines est la bonne).
Mais je pense malgré tout qu'il existe des méthodes assez générales pour trouver certaines valeurs exactes. J'ai par exemple un exercice dans lequel on me demande de calculer cos(Pi/15). Une idée?
Merci en tout cas
Pour certaines valeurs c'est jouable : 15=5x3 orEnvoyé par supernico999
est facilement calculable. Comme
Cordialement.
Merci Martini
En plus, je ne me souvenais plus trop comment calculer cos(Pi/5) explicitement, et du coup je viens de découvrir le lienhttp://jc.michel.free.fr/trianglepascal/cosinus.php
qui parle précisément de comment calculer les cos(Pi/n), avec une méthode générale, ou presque.
__
rvz
J'ai raconté une bêtise?
Non non.
La plupart du temps on laisse les
Cordialement.
D'accord, merci en tout cas
Ce qui serait intéressant c'est d'avoir une démo. Parce que le fait que toutes les équations polynomiales ne soient pas solubles par radicaux ne nous dit rien sur des équations particulières.Mais on peut se demander si
Quoiqu'en y réfléchissant, c'est un problème équivalent à la constructibilité à la règle et au compas d'un polygône régulier, non ?
Donc il suffirait d'invoquer le théorème de Gauss-Wantzel.
Arf, non j'ai dit une bêtise. J'ai confondu exprimable par des radicaux et constructible
Bon, mais alors, comment montrer qu'ils ne sont pas tous exprimables par des radicaux ?
Bonjour,
Ne peut-on pas poser le problème sous une forme un peu réductrice de la manière suivante ?
Construire une table de sin (ou cos) de 0 à 90° (de degré en degré) à partir des valeurs particulières et des radicaux.
Pour m'être essayé à cet exercice il y a fort longtemps, on y arrive presque à condition d'être capable de réussir la trissection de l'angle.
Les idées : on connait 45°, 30°, 72° (construction du pentagone).
Par addition, soustraction et division par 2 on arrive à 3°.
Comme 3 est le pgcd de 45,30 et 72, on ne pourra pas descendre sauf à être capable de le "trissequer".
On déduit donc de l'impossibilité de la trissection de l'angle que
1 les cosinus de pi/k avec k= m * (2^p) où m est un diviseur de 15 sont constructibles à la règle et au compas et donc exprimables à l'aide de radicaux
2 celles où k est divisible par 9 ne le sont pas
3 il resterait à démontrer que les valeurs de k multiple de 25 ou d'un nombre premier >5 ne sont pas constructibles.
Salut,
pour la constructibilité, le problème est règlé (théorème de Gauss-Wantzel, comme le dit matthias - k produit d'un nombre de Fermat premier et d'une puissance de 2).
Mais pour l'expression en terme de radicaux (pas seulement carrés), il faut regarder les polynômes cyclotomiques : sont-ils résolubles par radicaux ? En d'autres termes, quand est-ce que le groupe de Galois d'une extension cyclotomique est résoluble ?
Cordialement.
Salut !
Je ne comprend pas trop la notion de "expression en terme de radicaux" : une racine de l'unité, c'est, par définition, une racine (l'extension Q(cos(pi/k))/Q est trivialement résoluble par radicaux) ? Ou alors ce que vous cherchez, c'est une combinaison linéaire de racines ?
Pour martini_bird, le groupe de galois d'une extension cyclotomique Q(exp(2i pi/n))/Q c'est (Z/nZ)*
Oui en effet, tu as raison doudache.
Mais par ce biais on obtient par exemple une expression du genre
C'est pas vraiment ce qu'on convoite.
J'ai regardé pour le cas n=7 : j'écris le polynôme cyclotomique P(x+iy), je fais
On est donc content, on a une expression par des radicaux. Est-ce toujours possible ?
Autre question : peut-on se débarasser des
Si je demande l'expression algébrique, maxima me donne
Cordialement.
On a pi/15 = pi/6 – pi/10.
cos(pi/15) est donc facilement calculable à partir des sin et cos de pi/6 et pi/10.
Pour pi/10, on a sin(pi/10) = 1/(2.phi) (phi : nombre d'or)
pi/15 est donc parfaitement constructible !
Salut et bienvenue,
merci pour la correction.
On a donc
(ta valeur pour sin(pi/10) n'est pas correcte, tu as peut-être confondu avec cos pi/5)
Cordialement.
Ma valeur de sin(pi/10) est parfaitement correcte !
phi = (5½+1)/2
1/(2.phi)=(5½–1)/4
c'est bien le sin de pi/10.
Et cos(pi/5) = phi/2
Mea culpa
oui on peut calculer certains valeurs de cos des angles a parir des angles remarquables(pi/2,pi/3,pi/4
et ainsi de suite en peut calculer d'autr valeurs a partir de ces nouveaux cos obtenus par cette regle
ex:calculer le cos de pi/8
on a: pi/16=1/2*pi/8
or; pi/8=1/2*pi/4
donc: cos(pi/8)=rcine carree de ((cos(pi/4)+1)/2)
Bon...
Gal(Q[cos(Pi/n)]/Q) est toujours abélien donc c'est en effet toujour exprimable par radicaux. le problème c'est que "exprimable par radicaux" ca veut dire en faisant intervenir des racines n-ième de l'unité... et une telle expression est trivial : cos(Pi/n) = (exp(iPi/n)+exp(-iPi/n)) /2.
donc la notion simple pertinente est bien à mon avi l'exprimabilité par radicaux... si on voulait une notion plus rafiné, je sugère d'autoriser uniquement l'extraction de racines n-iemme de réel positif... mais ca va beaucoup compliqué la théorie et je suis pas convaincu que ca donne plus d'angle exprimable (typiquement, cos(Pi/7) et cos(Pi/9) ne sont pas exprimable de cette facon...)
Tu part du principe que
Le nombre complexe
Tu exprime ensuite ce nombre sous forme algébrique et comme son mondule est 1 tu obtient les valeurs exact de cos(pi/15), sin(pi/15) et tan(pi/15).
De fil en aiguille on pourrais calculer les cos, sin et tan de pas mal de fraction de pi, mais je ne pense pas que cela puisse être généralisable.
Salut,
Pour ce qui est de l'expression à l'aide de radicaux ou la constructibilité des
c'est la même idée que pour la décomposition de fraction rationnelles en éléments simples, si
et donc pour tout nombre entier
autrement dit, si on connaît
J'ai un petit problème, je n'arrive pas à calculer cos3pi/16 à l'aide des formules d'additions.
J'ai trouvé: 3pi/16=cos(pi/16+pi/8)
Il faut calculer
Puis calculer
Puis calculer
En utilisant
La dernière formule peut se calculer avec
