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Calculer cosinus à la main



  1. #1
    DaoLoNg WoNg

    Calculer cosinus à la main


    ------

    Salut.

    Je viens vous demander de l'aide pour une petite question. Imaginons que me prenne l'idée de connaitre la valeur de cos(36,15°) et que je n'ai pas de calculette.

    Voulant une valeur exacte je ne peux l'obtenir à partir d'un dessin, d'où ma question : comment est-ce que je fais ?

    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    phen

    Re : calculer cosinus à la main

    Salut,

    obtenir une valeur précise de quelque chose comme ca, ca parait un peu dur. Je pense qu'à l'aide de formule de trigo et de valeurs que tu connais (cos 90 cos 45 ...), il est possible de s'en approcher. Apres tout depend de la précision que tu veux.

    Phen.

  4. #3
    sailx

    Re : calculer cosinus à la main

    avant la calculette, je crois qu'on utilisait des tables. on essayait grosso modo de trouver la valeur.
    Donc, le plus facil,c'est de trouver la valeur de l'angle en Radian, et de l'encadrer. Où alors de l'encadrer avec des valeurs connu en degree.
    J'avoue que sa pourrait être intéréssant de savoir le faire sans la calculette...

  5. #4
    Calvert

    Re : calculer cosinus à la main

    Salut!

    On peut utiliser le développement limité du cosinus:



    Ca converge assez vite pour ne devoir calculer que quelques termes.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    DaoLoNg WoNg

    Re : calculer cosinus à la main

    Merci pour les réponses

  8. #6
    halman

    Re : calculer cosinus à la main

    Avant les calculatrices scientifiques on avait les tables de Bouvard et Ratinet.

    Compliquées à utiliser.

    Et encore, les premières calculatrices ne calculaient pas les arc tangentes, les arc cosinus, les arc sinus, les cotangentes et donnaient quelques fois des chiffres assez curieux pour certaines valeurs.

    Quand je pense que les grands scientifiques des siècles derniers se faisaient tous leurs calculs à la main, avec justes quelques tables et abaques très peu précises.

    Quel travail, quel courage, et c'est comme ça qu'ils ont découvert la gravitation, les lois des orbites de Kepler, la relativité, etc...

    Ce qu'ils mettaient des semaines à calculer à la main, un ordinateur le fait en quelques millièmes de secondes.

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  10. #7
    Electrofred

    Re : calculer cosinus à la main

    Bonjour,

    C'est vrai que ca a du être un sacré boulot ! on ne se rend plus trop compte de ca aujoutd'hui avec les calculettres qui tiennent dans la main et qui calculent des racines, des cosinus et autrs en qq millièmes de secondes.

    Je venais juste te dire DaoLoNg WoNg que j'avais eut la même idée il y a qq mois, et que j'avais procédé comme ca (bon, c'est pas tres rigoureux et c'est un peu du "bidouillage", mais après tout, on ne cherche ici que des approximations):

    Alors en fait mon idée c'était de déterminer l'équation d'un polynome qui "suit la courbe" (je vous avait dit, c'est pas tres rigoureux ) de la fonction sinus par exemple.

    Par exemple, on veut un polynome P(x) du second degré (P(x)=ax²+bx+c) pour approximer la fonction sinus sur [0;/2].

    Il me faut donc une parabole qui "suit" la courbe du sinus sur cet intervalle, par exemple, une parabole telle que:

    P(0)=0 (car sin(0)=0)
    P(/4)=/2
    P(/2)=1

    Apres y'a un petit systeme a résoudre pour identifier a, b et c et puis on trouve. Ici par exemple, on a :

    , dc

    sin(x) = environ

    Plus on sera prohe des points communs a la parabole e a la corbe du sinus (0, /2 , /4 , meilleure est la précision, et plus le degré du polynome est élevé, meilleure est l'approximation (car on aura plus de points en commun possibles dans le syseme (degré 2= 3 points, degré 3 = 4 points, ... ).

    Puis apres tu peux trouver de valeurs en dehors de [0;/2] (sin( + x) = - sin(x) ... ).

    Bon c'est un peu une idée maison et bidouille, puis ca demande qq calculs, mais bon c'est sympa de voir cmt on peut faire ce genre de choses, et puis une fois que t'as determiné le polynome pour le cosinus et le sinus, y'a juste à remplacer x par ta valeur.

    Qu'en pensez vous?

  11. #8
    Calvert

    Re : calculer cosinus à la main

    Si tu regardes la série que j'ai écrite plus haut, tu remarques que c'est un polyôme. Et plus tu prends de termes, plus tu seras précis sur ton cosinus.

    On a donc:



    Par exemple, tu souhaites le cosinus de 0.2 radians?

    Et bien:



    Rien qu'avec les 4 premiers termes, la valeur trouvée est indifférentieable de la vraie valeur à l'affichage sur une calculatrice qui affiche 9 décimales.

  12. #9
    Eogan

    Re : calculer cosinus à la main

    En fait Electrofred, tu utilises un polynôme interpôlateur de Lagrange de la fonction sinus.Tu peux même connaitre l'erreur que tu fais ,voici ce qu'en dit Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_lagrangienne
    (Pas vraiment accessible au lycée...)

  13. #10
    michamaza

    Re : calculer cosinus à la main

    Ta question m'a donné envi de chercher par moi-même le polynôme du second degrès (en pièce jointe, l'équation et le graphe), mais c'est une approximation très vague...En fait j'ai cherché les coefs a,b,c pour que la tangente en pi/2 soit horizontale : f'(x)=0, pour que la courbe passe par l'origine f(x)=0 et que f(pi/2)=1...
    Ce qui manque dans tous ça c'est faire intervenir le paramètre que la tangente en 0 à un coef directeur de 1 (dérivée de sinus étant cosinus)...
    Il faut donc un polynôme du 3ème degrès, j'ai essayé mais j'ai commencé à m'embrouiller dans les pi^3, pi^2 etc, donc je l'ai définie avec un angle en degrès, donc pi devient 90...c'est plus simple...Là l'approximation est bien meilleur : la différence entre sin x et f(x) est au pire de l'ordre de 10^-2 quand l'angle est proche de 50°. Pour la conversion en radians, j'ai pas le courrage...donc voilà en pièce jointe la formule et graphe de cette fonction
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  14. #11
    Calvert

    Re : calculer cosinus à la main

    Pour illustrer également le développement de Taylor que j'ai écrit plus haut, voici ce que donne les 4 premiers termes:

    vert: les deux premiers terme de la série;
    jaune: les trois premiers;
    bleu: les 4 premiers;
    rouge: les 5 premiers;
    violet: la fonction cos "normale".

    Remarquez que déjà avec ce nombre de termes très restreint, la courbe rouge est une très bonne approximation de la vraie courbe.
    Images attachées Images attachées  

  15. #12
    Jean-Luc P

    Re : calculer cosinus à la main

    Citation Envoyé par Calvert Voir le message
    Salut!

    On peut utiliser le développement limité du cosinus:



    Ca converge assez vite pour ne devoir calculer que quelques termes.
    Oui mais c'est pour x au voisinage de zéro, et à 35° ça commence à être un développement qui montre ses limites
    Jean-Luc
    La violence est le dernier refuge de l'incompétence.
    Salvor Hardin

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  17. #13
    Calvert

    Re : calculer cosinus à la main

    35°, soit 0.6 radians. Donc:

    le développement de Taylor au 6ème ordre donne déjà une précision à plus de 10 décimales. D'ailleurs, le développement de Taylor converge sur tout l'intervalle -pi..pi si je me souviens bien.

    D'ailleurs, je suis convaincu que c'est une telle série qui est utilisée par les calculateurs pour évaluer les fonction trigo sur tout cet intervalle.

  18. #14
    prgasp77

    Re : calculer cosinus à la main

    Bonjour
    Calvert > Ce n'est pas le développement limité, mais le développement en série entière du cosinus. En effet, il converge vers pour tout réel , mais convèrge de plus en plus lentement lorsque x croit.

    Jean-Luc P > Justement non, pour la raison citée ci-avant. Mais il est vrai que pour un calcul manuel de , mieux vaut développer en série entière la fonction et en calculer une valeur approchée en -10

    Edit : attention à différencier radians et degrés

    Cordialement.

  19. #15
    Electrofred

    Re : calculer cosinus à la main

    Bonjour,

    Citation Envoyé par michamaza Voir le message
    Ta question m'a donné envi de chercher par moi-même le polynôme du second degrès (en pièce jointe, l'équation et le graphe), mais c'est une approximation très vague...En fait j'ai cherché les coefs a,b,c pour que la tangente en pi/2 soit horizontale : f'(x)=0, pour que la courbe passe par l'origine f(x)=0 et que f(pi/2)=1...
    Ce qui manque dans tous ça c'est faire intervenir le paramètre que la tangente en 0 à un coef directeur de 1 (dérivée de sinus étant cosinus)...
    Il faut donc un polynôme du 3ème degrès, j'ai essayé mais j'ai commencé à m'embrouiller dans les pi^3, pi^2 etc, donc je l'ai définie avec un angle en degrès, donc pi devient 90...c'est plus simple...Là l'approximation est bien meilleur : la différence entre sin x et f(x) est au pire de l'ordre de 10^-2 quand l'angle est proche de 50°. Pour la conversion en radians, j'ai pas le courrage...donc voilà en pièce jointe la formule et graphe de cette fonction
    Au niveau du troisieme degré, ca devient en effet plus précis, c'est logique, plus le degré est élevé, plus ca va être précis. Mais tu peux faire encore plus précis tjr avec le troisieme degré, au lieu de t'interesser aux tangentes, tu peux prendre 4 points (car 4 inconnues, , donc a,b,c d inconnues) de ta courbe en commun avec la courbe du sinus.

    Je pense (je ne l'ai pas démontré, c'est intuitif, ca n'a pas l'air d'etre tt a fait ca ds la réalité, mais en bonne approximation on doit pouvoir dire que c'est ca) que pour que tu aies un max de précision, il faut choisir 4 points de l'intervalle a égle "distance" les uns des autres, équitablement répartis (par ex, s tu travailles sur , tu ne vas pas prendre , car tu aurs une tres bone précision au debut, mais apres ... ).

    J'ai essaé avec le troisieme degré. Je travaille donc sur , et on a donc . On a donc le systeme suivant:






    Je trouve alors .

    La précison est alors au pire de .
    J'ai mis un graphique en pièce jointe, c'est le graph de .


    Mais bon c'est vrai que cette méthode a beau être sympa, ca n'arrive pas a la cheville du dévellopement du cosinus proposé.
    J'avais d'ailleurs une question à vous poser:
    Par exemple, dans les calculs que tu as proposé calvert (dans l'exemple avec les 4 premiers termes), comment est ce qu'on sait que les décimales correspondent au cosinus? C'est vrai, parce que apres tout, on utilise bien ca dans les calculettes, donc si finalement c'est faux (s'il s'avere que les 10 premieres décimales sont exactes au but du 2685695144562 terme, je me doute qu'on ne va pas calculer jusqu'a la pour voir si ca chane ou pas), ce qu'il y a das les calculettes est faux, et on ne peut pas savoir, parce qu'on ne peut pas calculer ca autrement et de facon sure, on y va forcement par approches t on raffine de plus en plus non?

    Merci d'avance.
    Images attachées Images attachées  
    Dernière modification par Electrofred ; 08/06/2007 à 20h14.

  20. #16
    fderwelt

    Re : calculer cosinus à la main

    Bonjour,

    On doit pouvoir aussi utiliser la méthode CORDIC pour un calcul manuel. En gros ça repose sur la relation
    cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b)
    et une décomposition de l'angle en une somme d'angles plus petits dont les cosinus et sinus sont connus (éventuellement dans une table). Les calculettes utilisent habituellement les arccos et arcsin de 1/2n, calcul binaire oblige.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  21. #17
    michamaza

    Re : calculer cosinus à la main

    Oui, tu as raison Electrofred on arrivera toujours qu'a de vagues approximations en utilisant des polynômes. Ta méthode en utilisant 4 point est certainement, en effet, plus précise que la mienne, mais ce qui est moins sur c'est qu'à pi/2 la courbe atteigne son extrémum : or il faut obligatoirement qu'elle l'atteigne sinon ça ne marchera pas ; c'est pour ça que je me suis interessé aux tangentes.

    Pour ce qui est de la précision de calvert on peut tojours la vérifier géométriquement et de toute façon il doit y avoir une démonstration, mais bon ça doit pas être évident ça...
    7 et 7 ça fais 15...hé oui tout augmente

  22. #18
    Calvert

    Re : calculer cosinus à la main

    Bonsoir, navré du retard

    Voici ce dont je crois me souvenir (si un matheux passe par là, il corrigera...):

    - Le développement de Taylor approxime le fonction sur un certain intervalle appelé le "rayon de convergence" de la série. Dans notre cas, cet intervalle est [-pi;pi]. Donc, pour un nombre hors de cet intervalle, il faut s'y ramener en faisant le modulo 2 pi.

    - En plus, il existe une formule qui estime l'erreur maximale comise après l'ordre n. Si mes souvenirs sont exacts, l'erreur est d'ordre supérieur au dernier terme.

    - On peut montrer que cette erreur tend vers 0 en augmentant le nombre de terme du développement.

    Maintenant, pour plus de précision, il faudrait que je remette la main sur mes vieux cours d'analyse...

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  24. #19
    Eogan

    Re : calculer cosinus à la main

    Mais si on connait l'erreur commise, n'est-il pas possible d'ajouter un terme rectificatif qui nous rapproche encore plus du résultat exact?

  25. #20
    Calvert

    Re : calculer cosinus à la main

    Ce n'est qu'une valeur maximale de l'erreur, dont on ne connaît pas la véritable valeur. Pour gagner en précision, il suffit de calculer un terme supplémentaire.

  26. #21
    fderwelt

    Re : calculer cosinus à la main

    ... et si on connaissait la valeur exacte de l'erreur, il n'y aurait plus d'erreur du tout, non?

    Salut à tous,

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  27. #22
    danyvio

    Re : calculer cosinus à la main

    Citation Envoyé par Calvert Voir le message
    - Le développement de Taylor approxime le fonction sur un certain intervalle appelé le "rayon de convergence" de la série. Dans notre cas, cet intervalle est [-pi;pi]. Donc, pour un nombre hors de cet intervalle, il faut s'y ramener en faisant le modulo 2 pi.
    Bonjour ! Il suffit en fait de tout ramener à l'intervalle [ 0, pi/4 [ le reste s'en déduisant par un calcul non itératif. Or pi/4 # 0.7854...
    Le développement limité convient donc parfaitement, et c'est ce que j'utilisais en son temps sur des machines pas construites pour cela, mais le résultat était sympa.
    A votre disposition pour des conseils de programmation, notamment pour éviter les erreurs du genre : calculer dans un coin les factorielles, ce qui est inutile et impossible quand les indices croissent trop...
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  28. #23
    adastechno

    Re : calculer cosinus à la main

    prq tous ça .il te sufit de construire un triongle dont les ongles sont 90° et l'autre que tu demande d'on savoir le signus et tu auras le resulta en se servant des relations trigonometrique .

  29. #24
    MiMoiMolette

    Re : calculer cosinus à la main

    Citation Envoyé par adastechno Voir le message
    prq tous ça .il te sufit de construire un triongle dont les ongles sont 90°
    Ca, c'est le pied !

    Citation Envoyé par adastechno Voir le message
    et l'autre que tu demande d'on savoir le signus et tu auras le resulta en se servant des relations trigonometrique .
    Signus fraîcheur, le dentifrice pour polir les ongles !


    Bon et à part ça, même si tu as bon pied bon oeil, tu vas devoir m'expliquer comment tu peux mettre trois ongles de 90 sur un pied à 5 orteils...
    En gros : comment tu peux mettre trois angles à 90 degrés dans un triangle...
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  31. #25
    danyvio

    Re : calculer cosinus à la main

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    comment tu peux mettre trois ongles de 90 sur un pied à 5 orteils...
    Dans une espèce à Sète dissensions
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  32. #26
    adastechno

    Re : calculer cosinus à la main

    salut
    oué tu peux le calculer . tu peux prendre le developement limiter de la fonction consinus .et calcule a la main .
    bonne chance

  33. #27
    physikaddict

    Re : calculer cosinus à la main

    Citation Envoyé par adastechno Voir le message
    prq tous ça .il te sufit de construire un triongle dont les ongles sont 90° et l'autre que tu demande d'on savoir le signus et tu auras le resulta en se servant des relations trigonometrique .
    Surprenant !
    Il est plus facile de désintégrer un atome qu’un préjugé. (A.E)
    La matière noire, c'est ce qu'on met quand la matière grise vient à manquer. (Une sage tortue de Savoie)

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