Problème de valeur propre

[inviteb954f980]

Bonjour !


J'ai une question qui me pose problème (quelle surprise). Mais j'ai l'impression d'être proche de la solution, alors le fait de ne pas y arriver m'énerve encore plus ! Surtout que je suis une bille en maths !
Donc l'énoncé pose u un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n sur . u est de rang 1.
Je dois montrer qu'il existe un λ tel que uu=λu

Ce que j'ai fais:
rg(u)=1 donc dim Im(u)=1
D'après le th du rang E=Ker(u)+Im(u)
Mais je connais la dimension de l'image, qui est de 1, donc je peux logiquement écrire:
E=Ker(u)+Vect(x)
Si on précise x≠Ker(u) on peut écrire
E=Ker(u)Vect(x)
En me référant à la propriété de la somme directe je sais que je peux écrire:
u(x)=x+y avec y Ker(u)
Donc que u(x)=x ?
Et là c'est juste débile. Mais en même temps je suis à un rien du tout du résultat demandé (visuelement en tout cas ) puisque en appliquant une fois u on a uu=u(x)

En fait, je crois que je nage plutôt en plein brouillard mais impossible de trouver la moindre idée donc si quelqu'un a une piste, je suis très preneur
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[invite57a1e779]

D'après le th du rang E=Ker(u)+Im(u)

Le théorème du rang donne une égalité de dimension, pas une égalité d'espaces vectoriels.

A partir du moment où Im(u)=Vect(x), il faut distinguer deux cas :

– ou bien x appartient à Ker(u), alors Im(u) est contenue dans Ker(u) ;
– ou bien x n'appartient pas à Ker(u), auquel cas Ker(u) et Im(u) sont effectivement supplémentaires.

Il est facile de calculer on calcule facilement uu dans chacun des cas.

[inviteb954f980]

Donc la méthode que j'ai utilisé en partant du principe que x≠Ker(u) est entièrement fausse ?