bonjour,
j'aimerai montrer
que sup(A+B)=supA+supB
ce qui me pose problème c'est cette inégalité:
sup(A+B)<=supA+supB
on prend x dans A+B alors il existe a dans A et b dans B tel que x=a+b
on a x<=sup(A+B)
mais comment montrer que c'est inférieur à supA+supB?
merci de votre aide
je viens juste de ramarqué que
a<=supA
b<=supB
x<=supA+supB
mais après?
Salut,
avec les mains, comme ça, je dirais que si xA+B, alors on peut trouver y
On a donc y <= Sup(A) et z <= sup(B), et donc a fortiori x <= sup(A)+sup(B).
sup(A)+sup(B) est donc un majorant de A+B, qui est donc nécessairement plus grand que la borne supérieure de l'ensemble, soit donc sup(A+B) <= sup(A)+sup(B).
Cordialement.
pourquoi dis-tu que c'est nécessairement un majorant?sup(A)+sup(B) est donc un majorant de A+B, qui est donc nécessairement plus grand que la borne supérieure de l'ensemble
eh bien, tu as réussi à montrer que tout x pris dans A+B est plus petit que le nombre sup(A)+sup(B), donc ce nombre est bien un majorant de A+B par définition.
a priori
pour tout x de A+B, on a
x=y+z
avec y dans A et z dans B
il existe donc a=sup(A) dans A tel que pour tout y, y<=a
il existe donc b=sup(B) dans B tel que pour tout z, z<=b
donc pour tout x, x=y+z<=a+b
avec en particulier x=Sup(A+B), on a
Sup(A+B)<=Sup(A)+Sup(B)
Non, on ne peut pas faire ça, car la borne supérieure n'est pas forcément atteinte par x. Il est possible que toutes les inégalités soient strictes.avec en particulier x=Sup(A+B), on a
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