aide pour un devoir maisson merci
TRIANGLES SEMBLABLES ET MOYENNES
a et b deux réels strictement positifs, on apelle :
_ moyenne arithmétique de a et b, le nombre a + b / 2
_ moyenne géométrique de a et b, le nombre raciné carré ab
_ moyenne harmonique de a et b, le nombre 2ab / a+b
_ moyenne quadratique de a et b, le nombre racine carré a² + b² / 2
On se propose de démontrer géométriquement la propriété P suivante :
pour tous réels a et b strictement positifs,
2ab / a + b plus petit ou égal a racine carré ab plus petit ou égal à a+b / 2 plus petit ou égal a² + b² / 2
Pour cela, on considère deux nombres réels a et b tels que : 0 < a < b
On construit les points C, B, D alignés dans cet ordre tels que : CB =a et DB = b.
C1 et C2 sont les deux demi cercles de centre de milieu O du segment [CD] et de rayons respectifs OC et OB.
La perpendiculaire al a droite (CD) passant par B et la perpendiculaire a la droite passant par O coupent le demi cercle C1 respectivement en A et M.
La perpendiculaire a la droite (AO) passant par O coupe le demi cercle C2 en L.
On appelle K le pied de la hauteur issue de B dans le triangle rectangle ABO.
Démontrer que : OM = a + b / 2.
2) a) Démontrer que les triangles ABD et CBA sont semblables
2) a) En déduire que : AB = racine carré ab.
3) a) Démontrer que les triangles AKB et ABO sont semblables
3) b) En déduire que : AK = 2ab / a + b.
4) En considérant le triangle AOL, démontrer que AL² = a² + b² / 2.
5) Démontrer par des considérations géométriques que :
2ab / a + b < racine carré ab < a + b / 2 < racine carré a² + b² / 2 .
6) Que peut-on dire des moyennes arithmétiques, géométriques, harmonique et quadratique lorsque a = b ?
7) Conclure.
-----
)
