crochet de deux matrices...

[invite14fbf546]

Bonjour...
Qui aurait une piste à me donner pour l'exercice suivant :
Toute matrice dont les termes diagonaux sont nuls peut s'écrire sous la forme d'un crochet de matrices (i. e. MN - NM).

Je sèche lamentablement ...

Merci d'avance !!!
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[A1]

La condition suffisante est claire , n'est ce pas?

[invite14fbf546]

...oui... ça, ça va !!!!

[A1]

Pour la réciproque , on peut déjà voir que la trace de MN-NM est nulle , Donc Semblable à une matrice de diag. nulle .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14fbf546]

en fait, ce que je cherche à montrer c'est que ma matrice, qui a déjà sa diagonale nulle, peut s'écrire sous la forme MN - NM.

[Jeanpaul]

Toute matrice dont les termes diagonaux sont nuls peut s'écrire sous la forme d'un crochet de matrices (i. e. MN - NM).

Je dois être à la masse mais quand je fais le produit de 2 matrices (carrées) M et N et la différence MN - NM, je ne trouve pas zéro sur la diagonale.
Peut-être faut-il que les matrices soient symétriques ?

[invite14fbf546]

j'ai fait la même chose... avec des matrices symétriques ça marche...
J'ai ensuite essayé de décomposer ma matrice de départ sous la forme de deux matrices triangulaires à diagonales nulles mais ça ne m'a pas beaucoup avancé...
Ce que je ne sais pas c'est s'il faut que j'essaie de trouver deux matrices M et N qui conviennent, fonction de ma matrice de départ, ou s'il faut que je raisonne sur les EV et les dimensions...

[invite14fbf546]

ça n'inspire personne on dirait...

[Jeanpaul]

Non, effectivement. Ce qui est troublant, c'est que Google ne donne rien sur "crochets de matrices"

[martini_bird]

Salut,

tu devrais te servir de la transposée de l'identité.

Appelle au secours si tu nages.

[Jeanpaul]

Un peu bestial : imposer que la matrice M soit diagonale et chercher la matrice N.
On trouve assez facilement à condition que les éléments de M soient tous différents (pourquoi pas, puisque M est arbiraire ?).

[GuYem]

Salut,

tu devrais te servir de la transposée de l'identité.

Appelle au secours si tu nages.

AU SECOURS!

Je saisis pas la subtilité ; un indice un peu plus violent s'il te plait ?

[martini_bird]

Ben j'aurais cherché à écrire A (la matice de départ) sous la forme MX-XM avec


On aurait (avec et les coefficients des matrices X et A) un système de n² équations ...

Comment ça c'est bourrin?

Disons que ça marche bien sur mon brouillon en dimension 2.

Bonne nuit.

[invite14fbf546]

tu devrais te servir de la transposée de l'identité.

La transposée de l'identité, c'est l'identité non ?

[invite14fbf546]

Non, effectivement. Ce qui est troublant, c'est que Google ne donne rien sur "crochets de matrices"

Je crois qu'on peut aussi appeler ça le commutateur de deux matrices...

[invite14fbf546]

Ben j'aurais cherché à écrire A (la matice de départ) sous la forme MX-XM avec


On aurait (avec et les coefficients des matrices X et A) un système de n² équations ...

deux impressions...
1) si je veux obtenir une matrice A à diagonale nulle il faut que je choisisse X symétrique...
2) si je choisis X symétrique j'obtiens pour A une matrice antisymétrique... et je veux pouvoir avoir n'importe quel type de matrice...

non ?

[martini_bird]

La transposée de l'identité, c'est l'identité non ?

Salut.

Oui en effet, j'ai encore manqué une occasion de la f...
Je voulais bien sûr parler de la matrice M explicitée un peu plus haut.

1) si je veux obtenir une matrice A à diagonale nulle il faut que je choisisse X symétrique...

Pourquoi? Le coefficient du produit MX-XM en la i-ème ligne et i-ème colonne est et je ne vois pas pourquoi il faudrait imposer .

Je me plante sûrement, mais je voudrais savoir pourquoi...

Merci d'avance.

[invite14fbf546]

que vaut m_i,j ? 1 ou 0 non ?
Et il vaut 1 si... attend un peu... i + j = n + 1.
Sinon, il vaut 0.
Donc, il me semble que m_i,j et m_j,i sont nuls en même temps ou valent 1 en même temps. Dans ce cas, la seule possibilité pour que le terme diagonal soit nul est que x_i,j = x_j,i ... enfin je crois...

[GuYem]

La condition suffisante est claire , n'est ce pas?

Je ne comprends pas ce que tu entends par "condition suffisante".

Si tu parles du fait qu'un corchet de matrice est à diagonale nulle, c'st faux.

[invite14fbf546]

c'est vrai, on peut juste dire qu'un crochet de matrice est de trace nulle, donc semblable à une matrice de diagonale nulle.

[martini_bird]

que vaut m_i,j ? 1 ou 0 non ?
Et il vaut 1 si... attend un peu... i + j = n + 1.
Sinon, il vaut 0.
Donc, il me semble que m_i,j et m_j,i sont nuls en même temps ou valent 1 en même temps. Dans ce cas, la seule possibilité pour que le terme diagonal soit nul est que x_i,j = x_j,i ... enfin je crois...

Arf oui, j'ai rien dit j'étais reparti avec une expression générale de M.

Au temps pour moi.

Je pensais qu'il y aurait peut-être une matrice magique (au sens littéraire du terme) qui permette de s'en sortir facilement, mais ça a l'air moins trivial.

A mon avis il faut chercher une démonstration "par le haut" mais je n'ai pas d'idée.

Cordialement.

[invite14fbf546]

au moins je suis rassurée, c'est pas un truc évident...
Moi aussi je cherchais une matrice magique depuis plusieurs jours mais j'ai beau en rêver la nuit, ça marche pas.
Quant à une démonstration par le haut, il faut dans ce cas que je me serve des premières questions du devoir mais pour l'instant le lien m'échappe...

merci beaucoup pour tout !!!

[martini_bird]

Si tu pouvais nous donner les conclusions des questions précédentes, stp.

[invite14fbf546]

la conclusion de la première question est la suivante :
toute forme linéaire f de E* telle que f(MN) = f(NM) peut s'écrire comme k*Tr (Tr la trace d'une matrice).



je ne sais pas utiliser latex, une grande lacune à combler très vite...


ça t'aide ?????

[justine&coria]

J'y suis arrivé !! mais péniblement. Mais ça va être dur d'expliquer (donc, je vais pas le faire entièrement, mais je vais expliquer en gros comment j'ai fait).

Si on choisit arbitrairement M=(m_ij) et qu'on prend N=(n_ij) telle que :
- les coefficients n_ii de la diagonale ne dépendent pas de m_ii
- les autres coefficients n_ij sont n_ij= -m_i,j .
Alors, on prouve qu'en faisant varier les coefficients, l'ensemble des matrices M*N-N*M est l'ensemble des matrices de diagonale nulle.

Pour le prouver, il faut le faire par une sorte de récurrence (en quelque sorte on construit des matrices de format (n+1)*(n+1) à partir des matrices déjà construites de format n*n):

- ça marche pour les matrices de format 2*2 (faites-le vous-même), c'est pas hyper compliqué, parce qu'en fait, on voit qu'il suffit juste de faire varier les éléments qui ne sont pas dans la diagonale pour obtenir toutes les matrices à diagonale nulle.

- si ça marche pour n*n, qu'en est-t-il de (n+1)*(n+1) ? On voit qu'en fait, il ne faut plus qu'étudier la (n+1)^ème ligne et la (n+1)^ème colonne car le reste de la matrice vérifie déjà la propriété recherchée.
Il faut aussi faire remarquer que les n premières lignes et colonnes n'"interfèrent" pas avec les (n+1)^èmes lignes et colonnes lorsqu'on fait varier correctement les coefficients [il faut le faire pour comprendre lol, mais c'est pas hyper hyper compliqué].

Et voilà, c'est fait.
Personnellement, je vois pas d'autres méthodes (au niveau Bac+1). Maintenant, il existe peut-être des petites astuces, mais je vois pas.
Et bon, j'espère que je n'ai pas fait de grossières erreurs qui feraient tout mon raisonnement tomber à l'eau.

[invite14fbf546]

Merci, il va falloir que je me penche dessus !!!!
Mais je ne perds pas espoir de trouver une méthode moins calculatoire...
Merci beaucoup en tout cas !!!!

[GuYem]

Justine&Coria : si j'ai bien compris tu as montré au final que tout matrice a diagonale s'écrit comme un crochet de matrice (ce qu'il fallait faire!) mais en plus tu as montré qu'on peut choisir M et N avec des coefficients diagonaux non opposés.
Tu peux confirmer s'il te plait?

de notre coté nous avons essayé d'attraper la solution de manière moins constructive en remarquant que l'ensemble des matrices à diagonale nulle est un sev du noyau de Trace, et que l'ensemble des crochets est un sous-ensemble du noyau de Trace encore.
Nous avons beaucoup tourné en rond malheureusement.

Tous les eclaircissements sont les bienvenus. Y-a-t-il d'autres questions avant celle concernant la trace dans ton devoir Schub ?

[invite14fbf546]

ça m'épate ce forum...

la partie 1 du devoir concerne les homothéties des EV.
on montre entre autre que si f commute avec tous les endomorphismes de V, un K-EV, alors c'est une homothétie. Donc le centre de V est réduit à K I_v où I_v est l'identité de V.


Mais je ne vois pas bien le rapport...

[GuYem]

Ah tu as affaire à un joli devoir sur les endomorphismes toi! Si tu veux un conseil retiens bien les éthodes que tu vois dans ce devoirs ainsi que les résultats; C'est pas que ça peut servir plus tard mais presque...

Ta question me bluffe pour le moment, j'attends les précisions de Justine&Coria et je vais laisser passer la nuit dessus. Ca va venir, il faut pas désespérer.

[invite14fbf546]

je désespère quand même... ça me prend la tête au sens propre !!!!
mais au moins, j'aurai découvert un super forum grâce à ça !!!!